工程流体力学第7章量纲分析与相似原理

本章主要内容本章主要内容§§7.17.1量纲分析及量纲和谐原理§§7.27.2量纲分析法§§7.37.3流动相似原理§§7.47.4模型试验中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学一、本章学习要点一、本章学习要点™量纲分析的基本概念：量纲、基本量纲、导出量纲、无量纲量、量纲齐次性™量纲分析方法：瑞利法、π定理™流动相似的基本概念：几何相似、运动相似、动力相似™相似准则：雷诺准则、弗劳德准则、欧拉准则中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学二、本章重点掌握二、本章重点掌握™相似理论及其应用™量纲分析方法中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学§§7.17.1量纲和谐原理量纲和谐原理一、单位与量纲一、单位与量纲™定义物理量数量大小种类差别单位量纲单位（单位（unitunit）：）：表征表征物理量的大小物理量的大小,,如m、cm、mm；小时、分、秒等.量纲（量纲（dimensiondimension）：）：表征各物理量单位的表征各物理量单位的种类种类..如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用M表示。中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学一、单位与量纲一、单位与量纲™量纲表示方法‰dimx；长度：[L];时间：[T];质量：[M]；速度：[u]或dimu;力：[F]或dimF;‰物理量加方括号[]表示——[x]；方括号也可省略；‰举例：中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学一、单位与量纲一、单位与量纲™量纲的种类——基本量纲和导出量纲‰基本量纲：本身相互独立，用来表示其它物理量的一组量纲。‰导出量纲：用基本量纲表示（导出）的量纲。例如：选取[L]，[T]，[M]作为基本量纲，则力的量纲为[ML/T2]特性：基本量纲具有独立性，但不具有唯一性。中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学一、单位与量纲一、单位与量纲™三类物理量‰几何学量：如长度L，面积A，体积V等‰运动学量：如速度u，加速度a，流量Q，运动粘度ν等‰动力学量：如质量M，力F，密度ρ，动力粘度µ等注意：基本量纲的选取并不是唯一的，只要在几何学量、运动学量和动力学量中各选一个即可。中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学二、有量纲量与无量纲量二、有量纲量与无量纲量™量纲表达式γβα=MTLxdim式中指数α、β、γ由该物理量的性质决定。9例如：X为速度，则α＝1，β＝－1，γ＝0™有量纲量：只要α、β、γ有一个不为零9几何学量：α≠0，β＝0，γ＝09运动学量：β≠0，γ＝09动力学量：γ≠0中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学二、有量纲量与无量纲量二、有量纲量与无量纲量™无量纲量：α＝β＝γ＝09无量纲量的单位与基本单位的选择无关——纯数9同一量纲量的单位必须统一。中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学三、量纲和谐原理三、量纲和谐原理定义：凡是正确描述客观规律的物理方程，其各项的量纲必然相同——量纲一致性原则、量纲齐次性原则和量纲和谐原理。‰量纲齐次性原理是量纲分析的理论依据。whgvpzgvpz+++=++222222221111αγαγ‰工程中在用的个别经验公式存在量纲不一致。‰满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为无量纲方程。中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学§§7.27.2量纲分析法量纲分析法量纲分析法瑞利法π定理适用于较简单的问题适用于较复杂的问题量纲分析法：利用量纲和谐原理，得到描述某物理现象诸因素（诸变量）之间函数关系式的方法。中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学一、瑞利法一、瑞利法™基本原理0),,,(21=⋅⋅⋅nxxxf某个物理过程与n个物理量有关，即mnbaixxkxx121−⋅⋅⋅=其中某个物理量可以表示为其它物理量的指数乘积的形式其量纲必满足)dim(dim121mnbaixxxkx−⋅⋅⋅⋅=中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学一、瑞利法一、瑞利法[[例例]]试验观测得知，矩形量水堰的过堰流量Q与堰上水头H、堰宽b、重力加速度g有关，试用瑞利法确定其函数关系b中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学[[解解]]式中k为无量纲常数。假定γβαHgkbQ⋅⋅=[]TL/3写出方程两边的量纲[]αL=[]β2−⋅LT[]γL⋅根据量纲齐次性原理，有[]:L=3αβ+γ+[]:T1−β2−=求解5.2,2/1=+=γαβ试验得知，过堰流量与堰宽b的一次方成正比，即α＝1则γ＝3/2最后得到：2/32/32HgmbHgkbQ⋅=⋅⋅=中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学[[例例]]不可压缩流体在粗糙管内作定常流动，沿管道的压强降∆p与管道长度l、内径d、绝对粗粗度ε、平均流速v、流体的密度ρ和动力粘度µ有关，试用瑞利法导出压强降表达式。[[解解]]式中k为无量纲常数。假定654321vααααααµρεdklp=∆[]21−−TML写出方程两边的量纲[]1αL=[]3αL[]41α−LT[]53α−ML[]2αL[]611α−−TML根据量纲齐次性原理，有[]65432131:αααααα−−+++=−L[]642:αα−−=−T[]651:αα+=M[]65432131:αααααα−−+++=−L[]642:αα−−=−T[]651:αα+=M三个方程含有6各未知数，其中只有3个是独立待定的。取为待定，则631,,ααα642αα−=651αα−=6312αααα−−−=代入654321vααααααµρεdklp=∆得到2vvd631ρρµεααα⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∆ddlkp2vvd631ρρµεααα⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∆ddlkp9第一项：长径比——11=α9第二项：相对粗粗度9第三项：雷诺数的倒数2vRe163ρεααdldkp⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∆得到2vRe163ρεααdldkp⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∆2vRe,2ρεdldfp⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∆⎟⎠⎞⎜⎝⎛=dfελRe,2v2ρλdlp=∆γphf∆=gdlhf2v2λ=中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学二、二、ππ定理定理简介：1915年，Buckingham提出——Buckinghamtheorem基本原理基本原理：：对于某个物理现象，若存在n个变量互为函数关系，即0),...,,(21=nxxxf而这些变量中含有m个基本量纲，则可组合这些变量成为（n－m）个无量纲π数的函数关系，即0),...,,(21=−mnfπππ中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学二、二、ππ定理定理基本步骤：（1）找出对物理过程有影响的n个物理量，写成函数关系式；（2）从n个物理量中选m（m＝3）个相互独立的基本物理量；选取原则：a指数行列式不等于0；b从几何学、运动学和动力学物理量各选一个；0),...,,(21=nxxxf中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学二、二、ππ定理定理基本步骤：（3）基本物理量依次与其它物理量组合成(n-m)个无量纲项；11132141cbaxxxx=π22232152cbaxxxx=π3333213−−−=π−nnncbannxxxx（4）据量纲和谐原理求解π项的指数（5）写出描述该物理过程的关系式0),...,,(21=−mnfπππ中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学[[例例]]实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受阻力FD与球体直径d、球体运动速度v、流体的密度ρ和动力粘度μ有关，试用π定理量纲分析法建立FD的公式结构。[[解解]]选基本物理量ρ、v、d，根据π定理，上式可变为假定0),,,,(1=µρdvFfD0)v,v(222111yy1=zxzxDddFfρµρ0)v,v(222111yy1=zxzxDddFfρµρ第一个因子的量纲关系111y1vzxDdFρπ=[][][][]111yvzxDdFρ=[][][][]111y132zxLLTMLMLT−−−=[]11131:zyxL++−=[]12:yT−=−[]11:xM=11=x21=y21=z于是221vdFDρπ=Re12==vdρµπ同理：0)Re1,v(221=dFfDρ(Re)v22fdFD=ρ22v(Re)dfFDρ=22vdCDρ=式中为绕流阻力系数，由实验确定。(Re)fCD=中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学量纲分析法的主要作用当仅知道一个物理过程包含有哪些物理量，但不知道反映该物理过程的具体的物理方程式时，可以运用量纲分析法导出该物理过程各主要物理量之间的函数关系式。中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学§§7.37.3流体相似原理流体相似原理解决流体力学问题的方法数学分析实验研究模型实验以相似原理为基础以相似原理为基础以相似原理为基础中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学表征流动过程的物理量描述几何形状的如长度、面积、体积等描述运动状态的如速度、加速度、体积流量等描述动力特征的如质量力、表面力、动量等几何几何相似相似运动运动相似相似动力动力相似相似流流动动相相似似应满足的条件一、力学相似一、力学相似中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学11、几何相似、几何相似定义：模型和原型两个流场的几何形状相似，即相应的线性长度成比例，相应的夹角相等。99长度比长度比尺尺：：mplll=λ99面积比面积比尺：尺：2lmpAAAλλ==99体积比尺：体积比尺：3lmpVVVλλ==下标p---原型prototypem---模型modelbphpbmhm中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学22、运动相似、运动相似定义：两个流场相应点的速度方向相同，大小成比例；即它们的速度场（加速度场）相似。99流速比流速比尺：尺：tlmpvvvλλ==λ99加速度比加速度比尺：尺：lvtltvmpaaaλλ=λλ=λλ==λ2299时间比时间比尺：尺：mpttt=λ中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学说明：™时间相似：模型中的运动过程可以加快或减慢™重力加速度比尺：1==mpgggλ中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学33、动力相似、动力相似定义：两个流场相应点的各种作用力维持一定的比例关系；即它们的动力场相似。mpmpmpmpmpmpFSSEETTGGFFII======λmpρρλρ=mpµµλµ=中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学44、初始条件和边界条件相似、初始条件和边界条件相似™初始条件：非恒定流™边界条件：物面条件和自由液面条件中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学二、相似准则二、相似准则™相似准则：流动动力相似时作用力的比尺满足的约束关系称为相似准则™两类力：‰惯性力：企图维持原有运动状态的力；‰其它作用力：企图改变其运动状态的力，如重力G，粘性力T等；™以惯性力为一方作比较：中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学二、相似准则二、相似准则™牛顿数Ne：‰惯性力比尺：223vlalMaIρ=ρ==22vlmpIIIλλλ==λρ‰外界作用力F：mpFFF=λ‰动力相似要求：FIλ=λmpmmmpppFFvlvl=ρρ22222222mmmmppppvlFvlFρρ=mpNeNe)()(=22vlFNeρ=牛顿数中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学说明：9根据牛顿一般相似原理，两个相似流动其牛顿数相等，即要求各种性质的力与惯性力之间都要成相同的比例。9主要力相似的判别依据——模型相似准则(相似率）22vlFNeρ=中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学1.1.雷诺雷诺(Reynolds)(Reynolds)准则准则————粘性力相似粘性力相似主要作用力为粘性力yuAFddµ=llv2µ代入牛顿数Ne，得到Re1vvvv22222====lllllFNeρµρµρ9V：断面平均流速，l：特征尺度，ν：运动粘度9Re反应了惯性力和粘性力的比值。式中称为雷诺数νlvRe=中国海洋大学海洋工程系王树青高等流体力学()()mpReRe=1=vlλλλλρµ即要保证原型流动和模型