工程测试与信号处理第二章信号分析基础3

中原工学院机电学院第二章信号分析的基础12-3信号的时域分析一、时域分解为了从时域了解信号的性质，或便于分析处理，可从不同角度将信号分解为简单的信号分量之和，一般有如下情况.信号直流分量+交流分量偶分量+奇分量实部分量+虚部分量脉冲分量正交分量2中原工学院机电学院2019/8/82)()()(DCACtftftf平均值。：信号的直流分量，即tfDCTttttfTtf00d)(1)(DC信号的平均功率=信号的直流功率+交流功率)(tfEEOttt)(ACtf)(DCtfOOttfTtfttftfTttfTPTttTttTttd)(1)(d)()(1d)(10000002AC2DC2ACDC2连续时间信号1.直流分量与交流分量中原工学院机电学院第二章信号分析的基础3图2-15信号分解为直、交流分量之和信号x(t)可分解为直流分量xD(t)与交流分量xn(t)，即x(t)=xD(t)+xA(t).(2-26)中原工学院机电学院第二章信号分析的基础42.偶分量与奇分量信号可分解为偶分量xe(t)与奇分量xo(t)之和，即x(t)=xe(t)+xo(t).(2-27)偶分量对纵轴对称，奇分量对原点对称，如图2-16所示.中原工学院机电学院第二章信号分析的基础53.脉冲分量之和信号x(t)可分解为许多脉冲分量之和，如矩形窄脉冲之和、阶跃函数的叠加等.图2-17表示为矩形脉冲之和.因为矩形脉冲可表示为阶跃信号之差，即G(t)=u(t)-u(t-t0)，所以t1时刻的脉冲为x(t1)=[u(t-t1)-u(t-t1-△t1)].从t1=0到tl=t，将许多矩形单元叠加，即得到x(t)之近似表达式:图2-17信号分解为矩形窄脉冲之和中原工学院机电学院第二章信号分析的基础6tttttuttutxtx011111()()()(）(2-28)当矩形脉冲宽度无穷小时，即为脉冲分量之和.用卷积积分描述系统对任意信号x(t)的响应，就是利用了脉冲分量叠加的概念.4.实部分量与虚部分量瞬时值为复数的信号x*(t)可分解为实、虚两部分之和，即x*(t)=xR(t)十jxI(t).(2-29)一般实际物理信号多为实信号，但在信号分析理论中，常借助复信号来研究某些实信号的问题，它可以建立某些有益的概念或简化运算.中原工学院机电学院7瞬时值为复数的信号可分解为实、虚部两部分之和。*()()()RIxtxtjxt*()221/2()()()[()()]()arctan[()/()]jtRIIRxtrtertxtxttxtxt极坐标形式00n0n*T*n0()*()n0121r()dtT()jntnnjntjnjntnnxtCeCextextre，(=,,,),FS展开n()*()njtnnxtre00周期→非周期中原工学院机电学院8例：实部分量与虚部分量在主轴回转精度测试中，采用双向法拾取基准球心位置信号为x0(t)和y0(t)，它们一般是非周期函数。设x*(t)为球心回转径向误差运动，则x(t)可表示为：)(j)()(IR*txtxtx)(*)(nntjnneRtx设n=k,为转轴的转动角速度。因为T→时Δ→0，n=nΔ为连续量)(*)(ktkjkkeRtx)]sin()[cos()(*kkkktkjtkRtx物理意义是基准球心的回转径向误差运动可以分解为无数个以不同的频率、初相位和半径作圆周运动的谐波分量中原工学院机电学院9)]sin()[cos()(*kkkktkjtkRtx)(j)()(IR*txtxtxkkkRtkRtx)cos()()sin()(kkkItkRtx比较基准球心的回转径向误差运动的某次谐波可分解为两个不同的作圆周运动的分量图2-18周期径向误差运动的分解中原工学院机电学院第二章信号分析的基础105.正交函数分量正交函数：如果在区间(t1,t2)上,函数f1(t)和f2(t)互不含有对方的分量，则称f1(t)与f2(t)在(t1,t2)上正交函数正交的充要条件是它们的内积为00,21ff21)()(,2121ttdttftfff函数f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的内积：如果一个函数可以用一组相互正交的函数的线性组合来表示，我们就称某个正交函数与相应的线性系数的乘积为该正交函数上的正交分量。中原工学院机电学院第二章信号分析的基础11信号x(t)可以用正交函数集来表示，即各分量的正交条件为即在区间((tl,t2)内分量乘积的积分为零;任一分量在区间((t1,t2)内能量为有限值.各分量系数是在满足最小均方差条件下由下式求得满足正交条件的函数集有三角函数、复指数函数、沃尔什(Walsh)函数等.)()()()(2211txctxctxctxnn2121)(0)()(2ttttjikdttxdttxtxi2121)()()(2ttttjiidttxdttxtxci(2-31)(2-30)中原工学院机电学院第二章信号分析的基础12二.时域统计分析1.均值TTTxdttxtxE01)(lim)]([均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。xx中原工学院机电学院第二章信号分析的基础132.均方值信号的均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度；其正平方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种表达。TTTxdttxtxE02122)(lim)]([中原工学院机电学院第二章信号分析的基础143.方差方差：反映了信号绕均值的波动程度。信号x(t)的方差定义为：22120xTTxTExtExtxtdt[(()[()])]lim(())大方差小方差222xxx中原工学院机电学院第二章信号分析的基础15xxxtxxPxxp))((lim)(4.概率密度函数以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。中原工学院机电学院第二章信号分析的基础16对于各态历经过程，(2-34)式中，P[xx(t)≤x+△x]表示瞬时值落在增量△x范围内可能出现的概率;Tx=△t1+△t2+...…表示信号瞬时值落在((x,x+△x)区间的时间，T表示分析时间(图2-19).图2-19概率密度函数的计算TTxxpxTxlim1lim)(0中原工学院机电学院第二章信号分析的基础17上式表明，概率密度函数p(x)是信号x(t)的幅值落在指定区间△x内的概率与△x的比值，随△x所在位置不同而变化，是幅值x的函数.概率密度函数p(x)与均值、均方值、方差之间的关系可用矩函数表示:即x2x2x一阶原点矩二阶原点矩二阶中心矩dxxxpx)(dxxpxx)(22dxxpxxx)(22可以看出，均值是信号x(t)在所有幅值x上的加权线性和;均方值是在所有幅值x2上的加权线性和;方差则是在(x-μx)2上的加权线性和.权函数就是概率密度函数p(x).中原工学院机电学院第二章信号分析的基础185.概率分布函数概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的概率，其定义为：RdxxpxF)()(概率分布函数又称累积概率，表示了落在某一区间的概率，亦可写成:F(x)=P(-∞xX).典型信号的概率密度函数与概率分布函数如图2-20所示.中原工学院机电学院第二章信号分析的基础19概率密度函数概率分布函数中原工学院机电学院第二章信号分析的基础206.联合概率密度函数联合概率密度函数是描述两个或几个随机信号的不同数据的共同特性或联合特性的参数，定义为Txy/T表示x(t)落在(x+x)范围内，而y(t)落在(y+y)范围内的概率，Txy是x(t)和y(t)同时分别落在(x+x)及(y+y)区域中的总时间，即Txy=t1+t2+…。反映了两相关随机数据发生某一事件的概率。(2-36)TTyxyxpxyTyxlim1lim),(00中原工学院机电学院第二章信号分析的基础21如图2-21所示.联合概率密度函数反映了两个相关随机数据发生某一事件的概率.例如，两个结构产生的随机振动是相关联的，则可用联合概率密度函数来预计两个相邻弹性结构振动的碰撞概率.图2-21联合概率密度函数的计算中原工学院机电学院第二章信号分析的基础22三、直方图分析以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。0102030405060708090-1-0.50.51直方图概率密度函数归一化中原工学院机电学院第二章信号分析的基础23直方图(histogram)分析亦是对时域波形进行统计分析的一种方法，包括幅值计数分析与时间计数分析.幅值计数分析是以幅值大小为横坐标，每个幅值间隔内出现的频次为纵坐标来表示的，常称为幅值直方图分析;如图2-22所示.时间计数分析是以某时间间隔内的频次为纵坐标，时间为横坐标的图形来表示的，亦可称为时间直方图分析.(e)幅值直方图(a)穿级计数(b)峰值计数(c)跨均值计数(d)变程计数图2-22幅值计数分析幅值计数分析是研究信号历程中某些量值出现的次数。中原工学院机电学院第二章信号分析的基础24时间计数分析是对信号落入给定幅值范围内的时间进行测量，如图2-23所示.图2-23时间计数分析(a)时间间隔测量;(b)维持时间测量;(c)潜伏时间测量;(d)时间直方图中原工学院机电学院第二章信号分析的基础251.相关函数的物理涵义相关函数描述了两个信号之间的关系或其相似程度，也可以描述同一信号的现在值与过去值的关系，或者根据过去值、现在值来估计未来值.图2-24表示了x(t)与y(t)的三组波形，其中(a)组，从直观上很难发现x(t)与y(t)之间的相似之处，但也不能说它们之间毫无关系，如何定量地衡量信号之间的相关(或相似)程度呢?为了便于讨论，假定所研究的两个信号x(t)和y(t)是实能量信号，并且不含直流分量(即μx=0).运用最小二乘准则来研究两者之间的相似程度是易于理解的.两个信号的误差能量。ε2可用下式表示:22[()()]ytaxtdt(2-37)式中，a是一个参数，调整它可以得到最好的近似.中原工学院机电学院第二章信号分析的基础26图2-24波形的相关程度分析(a)不相关ρxy=0;(b)相关ρxy=1;(c)反相相关ρxy=-1中原工学院机电学院第二章信号分析的基础27221/2()()[()()]()xtytdtxyxtdtytdt通过引进相关系数ρxy，得到如下公式：(2-41)进一步分析式(2-41)可知，对于两个能量有限信号，若它们的能量是确定值，则ρxy的大小由x(t)y(t)的积分所决定.例如图2-24(a)所示的两个波形，如果彼此互相独立，互不相关，则x(t)与y(t)乘积的积分为零，即相关系数ρxy=0，此时误差能量ε2最大，这说明y(t)与x(t)是线性无关的.因此可以用两个信号的乘积积分作为其线性相关性(或相似性)的一种量度.中原工学院机电学院第二章信号分析的基础28dttytxRxy)()()(dttxtyRyx)()()(实际情况下，两个信号之间可能产生时差:，这时就需要研究两个信号在时移中的相关性.因此把相关函数定义为(2-43)(2-44)或显然，相关函数是两信号之间时差:的函数.通常将Rxy(τ)或Ryx(τ)称为互相关函数如果x(t)=y(t)，则Rxx(τ)(或Rx(τ))称为自相关函数，