工程测量教学课件 第6章 测量误差理论08土建1

第6章测量误差理论的基本知识•6.1测量误差概述•6.2评定精度的标准（重点）•6.3观测值函数的中误差—误差传播定律（重点、难点）•6.4同（等）精度直接观测平差•6.5不等精度直接观测平差6.1测量误差的概述一、测量与观测值二、观测条件①人（观测者）②仪器（工具）③外界条件。三、观测类型1、直接观测与间接观测（直接观测值与间接观测值）2、独立观测与非独立观测3、必要观测与多余观测4、等精度观测与非等精度观测四、测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等它们是引起观测误差的主要来源，观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。五、几个概念1、真值、观测值、最或然值①、真值：任一被观测量客观存在的量的大小，叫做真值。②、观测值：③、最或然值：2、粗差概念：超限的误差，也称错误。原因：观测者不当使用仪器或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等或外界条件发生意外的显著变化而产生的错误。剔除掉（应该避免）措施：操作细心、多余观测。3、误差（真误差）（不可避免）表达式：真误差Δ＝观测值li－真值Xor：真误差Δ＝真值X－观测值li最或然值误差：与真误差的定义相似，就是观测值与最或然值之差。4、改正数Ｖ某量的改正数等于其最或然值L与直接观测值的差：iilLVil六、测量误差分类（重点）1.系统误差——相同的观测条件，误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化特点：具有累积性（3）采用适当的观测方法，如测角度时盘左、盘观测；度盘配置；水准测量前后视距相等等。消除方法：（1）检校仪器，如经纬仪竖轴误差。（2）加改正数，如计算尺长改正、温度改正、高差改正等。偶然误差系统误差举例:在某测区，等精度重复观测了358次三角形的内角之和，得到358次三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对i：进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。0180)(iiiicba定义：相同的观测条件，若误差在数值和符号上均不相同或从表面看无规律性。如估读、气泡居中判断、瞄准、对中等误差。2.偶然误差（补偿误差）误差区间负误差正误差误差绝对值dΔKK/nKK/nKK/n0~3450.126460.128910.2543~6400.112410.115810.2266~9330.092330.092660.1849~12230.064210.059440.12312~15170.047160.045330.09215~18130.036130.036260.07318~2160.01750.014110.03121~2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810.5051770.4953581.000表2-1偶然误差的统计用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。3.偶然误差的特性(1)有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；(2)渐降性：小误差出现的概率比大误差大；(3)对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等；(4)抵偿性：当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零：0limlim21nnnnn粗系偶测量误差可表示为：规范要求：消除或减弱系统误差及粗差的影响，使0粗系故有偶通常提到误差，认为它只包含偶然误差。提高仪器精度，限制偶然误差的大小。进行多余观测。4.减弱偶然误差的措施求平差值。小结1、几个概念观测条件、（非）等精度观测、（真）误差、改正数2、系统误差：定义，特性，消除或减弱的措施3、偶然误差：定义，特性，减弱的措施精确度：是准确度与精密度的总称。准确度：观测值与真值的靠近程度，主要取决于系统误差；精密度：观测值的密集（离散）程度，简称精度，主要取决于偶然误差。用此来评价某组观测值质量的优劣。6.2评定精度的标准在测量中，用精确度来评价观测成果的优劣。测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。一、中误差:上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：nnmn][22221i=i-Xnnnnnnn][lim][limlimM2222212M2____中误差平方一般真误差i不可求，我们只能根据最或然值求出改正数式中1][nvvm即白塞尔公式（真值未知，v为改正数）Vi=L-li式中：例1：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：，说明第一组的误差分布比较集中，其精度高于第二组。相对地，第二组比较分散，精度低。说明：中误差越小，观测精度越高5.210)4(2)1()2(34)3(12022222222221m2.310)1()3(017)1(0)6(2)1(22222222222m21mm例2：设直线AB进行5次，其结果为40.125，40.123，40.124，40.123，40.125m，求AB的中误差。解：平均值：40.124mV1=-0.001m，V2=0.001m，V3=0，V2=0.001m，V1=-0.001m1mm1541][nvvm定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。二、容许误差（极限误差）测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即Δ容=2m或Δ容=3m。极限误差的作用：区别误差和错误的界限。偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7偶然误差的绝对值大于中误差9˝的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18˝的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。注意：9][nm相对误差K是中误差的绝对值m与相应观测值D之比，通常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:mDDmK1三、相对误差一般情况:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。返回例3：有一段距离，其观测值及其中误差为：345.576m±15mm.试估计这个观测值的误差的实际可能范围是多少？(提示:取三倍的中误差作为容许误差)例4：已知两段距离的长度及其中误差为：100m±5mm,1000m±5mm.试说明这两段距离的真误差是否相等？它们的相对精度是否相等？它们的精度是否相等？参考答案:（-45mm，45mm）参考答案:相等，不相等，不相等思考题：角度观测是否用相对误差表示？小结1、m定义，表达式（注意：真值未知的情况）2、m容定义，意义3、k定义，意义误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数6.3观测值函数的中误差—误差传播定律概念一、线性函数的误差传播定律设线性函数为：nnxkxkxkz2211式中为独立的直接观测值，为常数，相应的观测值的中误差为。nxxx,,21nkkk,,21nxxx,,21nmmm,,212222222121nnzmkmkmkm1.倍数函数的中误差设有函数式(x为观测值，K为x的系数)中误差xZKmmKxZ例5：量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：l1000:1m2.0m5.168m2.0mm2002.01000100010001000SmmddlSlSlS解：列函数式求全微分中误差式特例2.和差函数的中误差函数式：nxxxZ2122221nZmmmm当等精度观测时：上式可写成：mmmmmn321nmmZ21xxZ2221mmmZ若m1=m2=m：mmZ2特例：中误差式：例6：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。ABhmm2mhmABh解：921hhhhABmm692nmmh函数式nnnnnllllx1211121221211222nnnnxmmmm3.算术平均值的中误差式等精度观测时，，代入上式：得mmmmn21nmmnnmX221n由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。中误差式例7：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。次数观测值°′″V″VV备注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245[V]=0[VV]=6098315601.nVVm4715983..nmM76°42′45″±1.74″距离丈量精度计算例例8：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：xxmmxmx/凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得),,,,(321nxxxxfzixnmmmm,,,,321nxnxxZxfxfxf)()()(2121二、一般函数式中：是函数F对的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：ixf),,2,1(ni22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfmix2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm误差传播定律的一般形式[例9]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距离mD解：1.函数式2.全微分3.求中误差dDDddD)sin()(coscosDD22222]03)15sin50[(]05.0)15[(cos])sin[(])[(cosmDmmDD)(048.0mmD注意：单位量纲要统一？此处要除以ρ的目的是什么？1.列出观测值函数的表达式：2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。),,(21nxxxfZnxnxxZdxfdxfdxfd)()()(2121)(ixf求观测值函数中误差的步骤：小结：（一）运用误差传播定律的步骤3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm（二）误差传播定的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差