2012年陕西高考数学理科试卷(带详解)

2012陕西理数高考真题解析一．选择题1.集合{|lg0}Mxx，2{|4}Nxx„，则MN（）A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]【测量目标】集合的基本运算（交集）.【考查方式】集合的表示法（描述法）求集合的交集.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】1,22,12MxxNxxMNxx≤剟故选C.2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.1yxB.2yxC.1yxD.||yxx【测量目标】函数单调性、奇偶性的判断.【考查方式】根据函数单调性和奇偶性定义采用排除法得到结果.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】A是增函数不是奇函数错误，B和C都不是定义域内的增函数排除，只有D正确，因此选D.3.设,abR，i是虚数单位，则“0ab”是“复数iba为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】先判断充分性、再判断必要性得到结果.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】当0ab，0a或0b，iba不一定是纯虚数反之iba为纯虚数时，0a，0b，0ab，因此B正确.4.已知圆22:40Cxyx，l过点(3,0)P的直线，则（）A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据(3,0)P与圆的位置关系判断l与圆的位置关系.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】因为2222:40(2)4Cxyxxy，所以圆C是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，又(3,0)P在圆内，所以l与圆C相交.5.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABCABC，12CACCCB，则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为（）第5题图A.55B.53C.255D.35【测量目标】空间直角坐标系.【考查方式】根据空间直角坐标系用空间向量求异面直线夹角的余弦值.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】设CB=1，则1112(2,0,0),(0,0,1),(0,2,0),(0,2,1),CCCAABCB，1111(2,2,1),(0,2,1),cos,ABBCABBC222220221(1)55(2)212(1)，故选A.6.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m甲，m乙，则（）第6题图A.xx甲乙，m甲m乙B.xx甲乙，m甲m乙C.xx甲乙，m甲m乙D.xx甲乙，m甲m乙【测量目标】茎叶图.【考查方式】从茎叶图特点判断平均数，再求出中位数得到结果.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】从茎叶图来看乙中数据集中，甲比较分散，所以xx甲乙又18+2227+31==20==2922mm甲乙，所以选B.7.设函数()exfxx，则（）A.1x为()fx的极大值点B.1x为()fx的极小值点C.1x为()fx的极大值点D.1x为()fx的极小值点[【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】求出所给函数的导函数，根据导函数求出函数的极值.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】()(1)exfxx，当1x时，()0()fxfx，在(,1)上递减；当1x时，()0()fxfx，在(1,)递增，∴极值点为1.x8.两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B.15种C.20种D.30种【测量目标】排列、组合及其应用.【考查方式】先找出获胜情况，再利用排列组合求出总方法数.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】某一个人获胜可以分成3中情况，得分3:0,3:1,3:2；方法数为2213421+CC)C20.（9.在ABC△中，角,,ABC所对边长分别为,,abc，若2222abc，则cosC的最小值为（）A.32B.22C.12D.12【测量目标】余弦定理、基本不等式求最值.【考查方式】把余弦定理结合基本不等式判断cosC的最小值.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由余弦定理结合基本不等式可得22222222221cos1.222abcabccCababc≥10.右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）第10题图A.1000NPB.41000NPC.1000MPD.41000MP【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据程序框图的逻辑结构判断空白框内应填入什么.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由循环体可知结果4.1000MP二．填空题11.观察下列不等式213122231151233，222111712344…照此规律，第五个．．．不等式为【测量目标】合情推理.【考查方式】从给出的几个不等式的特征猜测出一般的规律得到第五个．．．不等式.【难易程度】容易【参考答案】2222211111111++.234566【试题解析】观察这几个不等式可以发现左边分母从1、2、3、4、5的平方依次增加1后的平方，分子全是1，右边分母是左边最后一项的分母的底数，分子式左边后两分母底数的和，于是有：2222211111111++.23456612.5()ax展开式中2x的系数为10，则实数a的值为【测量目标】二项式定理.【考查方式】根据二项式定理及其性质求出a的值.【难易程度】容易【参考答案】1【试题解析】5252155C,2,C10,1.rrrrTaxraa13.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米第13题图【测量目标】抛物线的标准方程.【考查方式】先求出抛物线标准方程，然后把坐标代入求出水面宽.【难易程度】容易【参考答案】26【试题解析】先以拱顶为原点，建立直角坐标系，设水面和拱桥交点A（2，2）则抛物线方程为22xpy，（步骤1）代入得22=2(2),2=2pp，22xy.（步骤2）当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B（,3a)则代入抛物线方程得：a=6,因此水面宽26米.（步骤3）14.设函数ln,0()21,0xxfxxx„，D是由x轴和曲线()yfx及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2zxy在D上的最大值为【测量目标】导数的几何意义、二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】根据导函数求出切线方程，再根据限制条件画出可行域，找出满足目标的最优解，进而求出maxZ.【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】1(),(1)1,fxkfx∴切线:1lyx因而切线l、曲线()fxx、轴围成三角形区域，其中最优解是01（，-)代入得max2z.15.A（不等式选做题）若存在实数x使|||1|3xax„成立，则实数a的取值范围是【测量目标】绝对值不等式的性质及其运用.【考查方式】根据绝对值不等式的性质化简，进而求出实数a的取值范围.【难易程度】容易【参考答案】24a剟【试题解析】由题意知左边的最小值小于或等于3即可，根据不等式的性质得)(1)3,13,24.xaxaa（剟剟15.B（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若6AB，1AE，则DFDB.【测量目标】直线和圆的位置关系相交弦定理.【考查方式】根据相似三角形转化DFDB，然后根据相交弦定理求出结果.【难易程度】容易【参考答案】5【试题解析】RtRt,,DFDEDEFDEBDEBD△∽△即2=,DEDFBD又由相交弦定理得2=155.5.DEAEEBDFBD第15题图15C（坐标系与参数方程）直线2cos1与圆2cos相交的弦长为.【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】先化为普通方程，然后利用勾股定理求解.【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】化极坐标为直角坐标得直线1,2x圆22(1)1,xy由勾股定理可得相交弦长为32=3.2三．解答题：16.（本小题满分12分）函数π()sin()16fxAx（0,0A）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.（1）求函数()fx的解析式；（2）设π(0,)2，则()22f，求的值【测量目标】三角函数的图象与性质、由图象求解析式.【考查方式】根据三角函数的图象与性质求出解析式，然后根据三角函数求值求出的值.【难易程度】中等【试题解析】（1）13A，2A,（步骤1）又∵函数图象相邻对称轴的距离为半个周期，π2ππ.π.2()2sin(2)1.226TTfxxT，（步骤2）（2）ππ1()2sin()12,sin(),2662f（步骤3）πππππππ0,,,.2663663（步骤4）17.（本小题满分12分）设na的公比不为1的等比数列，其前n项和为nS，且534,,aaa成等差数列.（1）求数列na的公比；（2）证明：对任意kN，21,,kkkSSS成等差数列【测量目标】等差与等比数列的通项、性质、前n项和.【考查方式】由等差数列的已知项之间的关系推出数列的公比再利用等差中项法或公式法证明结论.【难易程度】中等【试题解析】（1）534,,aaa成等差数列，2433541112=+2,aaaaqaqaq（步骤1）210,0,20,2,1aqqqqq（舍去）2q.（步骤2）（2）证法一.（等差中项法）21212()()kkkkkkkkSSSSSSSN121112(2)0.kkkkkaaaaa（步骤3）证法二.（公式法）12(1)21kkaqSq212111121(1)(1)(2);111kkkkkkaqaqaqqSSqqq（步骤4）2111212(1)(2)2()11kkkkkkaqaqqSSSqq（步骤5）21(2)0(2),1kaqqqqq21,,kkkSSS成等差数列.（步骤6）18.（本小题满分12分）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若ab，则ac”为真.（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）第18题图【测量目标】平面向量在平面几何中的应用、两条直线的位置关系、四种命题及其之间的关系.【考查方式】根据共面向量存在定理证明结论；通过对四种命题的理解写出其逆命题.【难易程度】容易【试题解析】（1）证法一.（向量法）如图过直线b上任一点作平面π的垂线n（步骤1）设直线,,,abcn的方向向量分别为,,,abcn，则,,bcn共面∴存在实数，使=+=+=+=0，（）（）（）cbnacabnabanππ=0=0.，，，，ananacac（步骤2）第18题（1）图证法二（利用垂直关系证明）如图,cbAP为直线b上异于A的点，作πPOOc,,（步骤3）POaabb,,平面,PAOPObPa，平面PAO（步骤4）c平面,.PAOac（步骤5）第18题（1）图（2）逆命题为a是平面π内的一条直线，b是π外的和它不垂直的直线，c是直线b在π上的投影，若ac，则ab.逆命题为真命题.（步骤6）19.（本小题满分12分）已知椭圆221:14xCy，椭圆2C以1C