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NCS(南昌市)20180607项目第一次模拟测试卷数学(文)第I卷一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4AxNyx,21,BxxnnZ,则AB()A.,4B.1,3C.1,3,5D.1,32.欧拉公式cossinixexix(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,3ie表示的复数位于复平面中的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知fx是定义在R上的偶函数,且fx在0,上单调递增,则()A.320log2log3fffB.32log20log3fffC.23log3log20fffD.23log30log2fff4.已知0a,bR,那么0ab是ab成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设不等式组3010350xyxyxy表示的平面区域为M,若直线ykx经过区域M内的点,则实数k的取值范围为()A.1,22B.14,23C.1,22D.4,236.已知函数2sin06fxx的部分图象如图所示,则的值可以为()A.1B.2C.3D.47.执行如图所示的程序框图,则输出的n等于()A.1B.2C.3D.48.设函数2,11,1xaxfxxx,若1f是fx的最小值,则实数a的取值范围为()A.1,2B.1,0C.1,2D.1,9.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示,图中格是单位正方形,那么组合体的侧视图的面积为()A.3364B.152C.63D.810.函数2sinxxeexfxxe的图象大致为()ABCD11.已知12,FF为双曲线222:102xyCbb的左右焦点,点A为双曲线C右支上一点,1AF交左支于点B,2AFB△是等腰直角三角形,22AFB∠,则双曲线C的离心率为()A.4B.23C.2D.312.已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)度的200公里处,以v公里/小时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)度的200公里处,若3coscos4,则v()A.60B.80C.100D.125二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设函数fx在0,内可导,其导函数为'fx,且lnlnfxxx,则'1f____________.14.已知平面向量1,am,4,bm,若20abab,则实数m____________.15.在圆224xy上任取一点,则该点到直线220xy的距离0,1d的概率为____________.16.已知函数3sinfxxx,若0,,,44,且22ff,则cos2________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知等比数列na的前n项和为nS,满足4421Sa,3321Sa.(1)求na的通项公式;(2)记216log1nnbS,求12nbbb…的最大值.18.某校为了推动数学教学方法的改革,学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班,每班各40人,甲班按原有模式教学,乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验,将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数再取整,绘制成如下茎叶图,规定不低于85分(百分制)为优秀,甲班同学成绩的中位数为74.(1)求x的值和乙班同学成绩的众数;(2)完成表格,若有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话,那么学校将扩大教学改革面,请问学校是否要扩大改革面?说明理由.19.如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABCD为直角梯形,AC与BD相交于点O,ADBC∥,ADAB,3ABBCAP,三棱锥PACD的体积为9.(1)求AD的值;(2)过O点的平面平行于平面PAB,与棱BC,AD,PD,PC分别相交于点,,,EFGH,求截面EFGH的周长.20.已知椭圆2222:10xyCabab的下顶点为A,右顶点为B,离心率32e,抛物线2:8xEy的焦点为F,P是抛物线E上一点,抛物线E在点P处的切线为l,且lAB∥.(1)求直线l的方程;(2)若l与椭圆C相交于M,N两点,且5314FMNS△,求C的方程.21.已知函数lnxfxeaxeaR,其中e为自然对数的底数.(1)若fx在1x处取到极小值,求a的值及函数fx的单调区间;(2)若当1,x时,fx0恒成立,求a的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为2cos2sin2xy(为参数),以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程;(2)若直线12,ll的极坐标方程分别为6R,2=3R,设直线12,ll与曲线C的交点为O,M,N,求OMN△的面积.23.已知223fxxa.(1)当0a时,求不等式23fxx的解集;(2)对于任意实数x,不等式212xfxa成立,求实数a的取值范围.80404061192713346乙班甲班合计合计不优秀人数优秀人数MNODCBAPEFGHNCS20180607项目第一次模拟测试卷文科数学参考答案及评分标准一.选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案BACBCBBCBADC二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.e+114.515.1316.22三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.17.【解析】(Ⅰ)设{}na的公比为q,由434SSa-=得,43422aaa-=,所以432aa=,所以2q=.又因为3321Sa=-所以11112481aaaa++=-,所以11a=.所以12nna-=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,122112nnnS-==--,所以42216log()2log2821nnnbnS-===-+,12nnbb,所以{}nb是首项为6,公差为2的等差数列,所以12346,4,2,0,bbbb当5n时0nb,所以当3n或4n时,12nbbb的最大值为12.18.【解析】(Ⅰ)由甲班同学成绩的中位数为74,所以775274x,得3x由茎叶图知,乙班同学成绩的众数为78,83(Ⅱ)依题意知2280(6271334)3.3822.70640401961K(表格2分,2K计算4分)有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”,学校可以扩大教学改革面.19.【解析】(Ⅰ)四棱锥PABCD-中,PA^底面ABCD,ABCD为直角梯形,//,ADBCADAB^,3ABBCAP===,所以139322PACDABADADVAP-×=醋==,解得6AD=.(Ⅱ)【法一】因为//a平面PAB,平面a平面ABCDEF=,OEFÎ,平面PAB平面ABCDAB=,根据面面平行的性质定理,所以//EFAB,同理//,//EHBPFGAP,因为//,2BCADADBC=,所以BOCD∽DOAD,且12BCCOADOA==,又因为COED∽AOFD,AFBE=,所以2BEEC=,同理2AFFD=,2PGGD=,123,2,233EFABEHPBFGAP======如图:作//,,//,HNBCHNPBNGMADGMPAM==,所以//,HNGMHNGM=,故四边形GMNH为矩形,即GHMN=,(求GH长2分,其余三边各1分)ENOHCDBAFGP在PMND中,所以81222cos455MN°=+-创=所以截面EFGH的周长为3252552+++=++.【法二】因为//a平面PAB,平面a平面ABCDEF=,OEFÎ,平面PAB平面ABCDAB=,所以//EFAB,同理//,//EHBPFGAP因为BC∥,6,3ADADBC==所以BOCD∽DOAD,且12BCCOADAO==,所以12EOOF,11,23CECBBEAF====同理13CHEHCOPCPBCA===,连接HO,则有HO∥PA,所以HOEO,1HO,所以123EHPB,同理,223FGPA,过点H作HN∥EF交FG于N,则225GHHNGN,所以截面EFGH的周长为3252552+++=++.20.【解析】(Ⅰ)因为222314bea,所以12ba,所以12ABk又因为l∥AB,所以l的斜率为12设2(,)8tPt,过点P与E相切的直线l,由28xy得1'|442xtxty,解得2t所以1(2,)2P,所以直线l的方程为210xy(Ⅱ)设),(),,(2211yxNyxM,由22221412xybbxy得2222140xxb,21212141,2bxxxx,且248(14)0bD=--,即218b,所以22121212||()481xxxxxxb,【法一】:210lxy中,令0x得12y,l交y轴于D,又抛物线焦点(0,2)F,所以15||222FD所以212115531||||812224FMNSFDxxb,解得24b,所以椭圆C的方程221.164xy【法二】21215||1||8142MNxxb:210lxy,抛物线焦点(0,2)F,则|041|55Fld®--==所以2115531||8152224FMNFlSMNdb,解得24b,所以椭圆C的方程221.164xy21.【解析】(Ⅰ)由()elne(R)xfxaxa=--?,得()exafxx¢=-因为(1)0f¢=,所以ea=,所以eee()exxxfxxx-¢=-=令()eexgxx=-,则()e(1)xgxx¢=+,当0x时,()0gx¢,故()gx在(0,)x??单调递增,且(1)0,g=所以当(0,1),()0xgx?时,(1,),()0xgx??时.即当(0,1)xÎ时,'()0fx,当(1,)x??时,'()0fx.所以函数()fx在(0,1)上递减,在(1,)+?上递增.(Ⅱ)【法一】由()elnexfxax=--,得()exafxx¢=-(1)当0a£时,()e0xafxx¢=-,()fx在[1,)x??上递增min()(1)0fxf==(合题意)(2)当0a时,()e0xafxx¢=-=,当[1,)x??时,eexy=?①当(0,e]aÎ时,因为[1,)x??,所以eayx=?,()e0xafxx¢=-?.()fx在[1,)x??上递增,min()(1)0fxf==(合题意)②当(e,)a??时,存在0[1,)x??时,满足()e0xafxx¢=-=()fx在00[1,)xxÎ上递减,0()x+?上递增,故0()(1)0fxf=.不满足[1,)x??时,()0fx³恒成立综上所述,a的取值范围是(,e]-?.【法二】由()elnexfxax=--,发现(1)elne0xf
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