对数的概念学案1

第二章函数概念与基本初等函数2.3.1对数的概念【课标要求】l.知识与技能（1）、理解对数的概念和意义．（2）、能熟练地进行指数式与对数式的互化．（3）、了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法．2.过程与方法(1)通过探究使学生感受化归的数学思想。(2)通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力。3.情感.态度与价值观（1）通过学习使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣（2）通过阅读对数发展史，增强学生的数学素养。【课堂互动】★双基导学★导学知识点一：对数概念的产生问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭奎屯王新敞新疆（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？（得到：41()2＝？，1()2x＝0.125x=?）问题2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产是2002年的2倍？（得到：(18%)x=2x=?）问题共性：已知底数和幂的值，求指数奎屯王新敞新疆怎样求呢？例如：课本实例由1.01xm求x探析：这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式Nab中，已知a和N求b的问题（这里10aa且）。说明：由此引发我们对X=？的思考，于是产生了对数的概念。(1)定义：一般地，如果xaN(0,1)aa，那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm）.记作logaxN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数奎屯王新敞新疆且0,1aa，N0介绍两种特殊的对数：(2)定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（commonlogarithm），并把常用对数10logN简记为lgN奎屯王新敞新疆在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数logeN简记作lnN奎屯王新敞新疆导学知识点二：指数式与对数式的互化问题3：指数与对数间的关系（0,1aa时，xaNlogaxN）负数与零是否有对数？（原因：在指数式中N0）log1?a，log?aa探析：指数式Nab化为对数式，我们可以在指数式两边同时取对数，由此得到对数式logabN。说明：1．在指数式中幂N0，∴在对数式中，真数N0．（负数与零没有对数）2．对任意0a且1a,都有01a∴log10a，同样：log1aa．3．如果把baN中的b写成logaN，则有logaNaN．如果把bNalog中的N换成ba，则有logbaab。上述两式称对数恒等式：logaNaN；logbaab★方法透析★例1.将下列指数式写成对数式：（1）35125；（2）712128；（3）327a；（4）2100.01精析：根据定义解题（0,1aa时，xaNlogaxN）解：（1）5log1253（2）21log7128（3）3log27a（3）10log0.012精评：此题主要是训练指数化为对数的能力，其中（3）也可以求出a的值，（4）也可以写为lg0.012注意：对数符号的书写，与真数才能构成整体变式1：将下列指数式写成对数式：（1）2ea（2）61()642简析：（1）是常用对数，要注意表示形式（2）的底数小于零，要首先保证大于零即根据指数的性质化负为正解：（1）ln2a（2）12log646变式2：将下列指数式写成对数式：51()322简析：底数小于零，要首先保证大于零即根据指数的性质化负为正解：先化为51()322，再化为12log325变式3：对数式(2)log(5)aab中，实数a的取值范围是（）简析：要使对数式有意义，底数和真数部分都的大于零A．)5,(B．(2,5)C．),2(D．)5,3()3,2(精评：此题可以考察对数式的意义，若表示对数logaxN,要求0,1aa，N0例2.将下列对数式写成指数式：（1）12log325；（2）lg0.001=-3；（3）ln100=4.606精析：根据定义解题（0,1aa时，xaNlogaxN）解：（1）51()322（2）3100.001（3）4.606100e精评：此题主要是训练化对数为指数的能力，其中（2）是以10为底，（3）是以e为底，可能在解题时在隐性底数方面出错。例3.求下列各式的值（1）12log32（2）9log27精析：此题主要体现指数与对数互化（0,1aa时，xaNlogaxN）解：（1）设x=12log32，则1()322x=51()2，则x=-5（2）设9log27x，则927x即2333x得2x=3，得x=32精评：要求它的值，可以先化为指数式，然后化为同底的指数幂，以此培养学生可以从中总结解方程的依据。变式1.：求下列各式中x的值：（1）642log3x；（2）log86x；（3）3lnex简析：通过讨论解方程的依据，从而试求寻找解题思路。解决此类问题的关键在于熟练应用指对互化求x。解：（1）把642log3x化为2364x=263(2)，得x=16；（2）把log86x化为68x=166(8)，则113668(2)x，得22x；（3）把3lnex化为3xee，则x=3变式2：求式中x的值2221log3211xxx简析：此题在解题时容易产生增根，要注意对数式有意义，底数和真数部分都的大于零解：2221321xxx即220xx，得x=0或-2，当x=0时2211x不满足对数式的定义，所以x=-2.例3.求下列各式的值：2log32精析：此题主要考查对公式logaNaN的灵活应用。解：2log32=3精评：在使用公式logaNaN要注意对结构形式的观察。变式1：2222log3log322239简析：要把22log3化为22log3再使用公式。变式2：22log33log3332223224简析：要把2log332化为2log3322再使用公式。变式3：已知xlog5a，xlog3b，求bax23的值．解：3log52log332xxabxx3232log5log3log(53)3253xxxxx★归纳提升★对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归思想的桥梁。因此，在刚开始学习对数问题时，我们可以把它化归为指数问题，利用分数指数幂有关的运算的性质及其方法技巧来解决；反过来我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到简捷的解法。【巩固练习】1、已知)2(,lg)(5fxxf则（）A2lgB32lgC321lgD2lg512、若2ab(0b且1b)则有（）A．2logabB．2logbaC．log2baD．log2ab3、已知3log82a，则a等于()A．41B．21C．2D．44、以下四个命题：(1)若log33x，则9x；(2)若41log2x，则2x；(3)若3log0x，则3x；(4)若15log3x，则125x，其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、若312x，则x等于．6、若0)](log[loglog235x，则x的值为．7、)]81(log[loglog346=．8、把下列指数形式写成对数形式：(1)45=625；（2）62=641；(3）a3=27；(4)m）（31=5.73．9、把下列对数式写成指数式：(1)3log9＝2；（2）5log1253；（3）2log41＝－2；（4）3log811＝－4．10、求下列各式的值：(1)2000lg10；(2)3log422．