D11-4函数展开成幂级数[同济大学---高等数学]

第四节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数机动目录上页下页返回结束第十一章一、泰勒(Taylor)级数)()(0xfxf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:机动目录上页下页返回结束)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,机动目录上页下页返回结束定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0xx设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有机动目录上页下页返回结束定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设f(x)所展成的幂级数为则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;)1(!2)(22nnxannaxf)0(!212fa;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa显然结论成立.)0(0fa机动目录上页下页返回结束二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数)(xf第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内)(limxRnn是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开机动目录上页下页返回结束例1.将函数展开成x的幂级数.解:,)()(xnexf),,1,0(1)0()(nfn1其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足e!)1(n1nxxe故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n!)1(1nn(在0与x之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数机动目录上页下页返回结束例2.将展开成x的幂级数.解:)()(xfn)0()(nf得级数:x其收敛半径为,R对任何有限数x,其余项满足))1(sin(2n!)1(n1nx12kn),2,1,0(k3!31x5!51x12!)12(11)1(nnnxxsinnkn2,)1(k,012!)12(115!513!31)1(nnnxxxx机动目录上页下页返回结束nnxnxxx2142!)2(1)1(!41!211cos类似可推出:12153!)12(1)1(!51!31sinnnxnxxxx(P220例3)机动目录上页下页返回结束例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:易求出,1)0(f,)0(mf,)1()0(mmf,)1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得级数mx12!2)1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!)1()1(级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,机动目录上页下页返回结束11,)(xxF2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(1!)1()1()1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1(xFx),(xmFmxxF)1()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F推导则推导目录上页下页返回结束为避免研究余项,设此级数的和函数为2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(xmxm1)1(称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.机动目录上页下页返回结束由此得对应1,,2121m的二项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111x24231x3642531x)11(x486427531xx21111x2x3x)11(xnnx)1(x机动目录上页下页返回结束)11(1112xxxxxn2.间接展开法x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数展开成x的幂级数.解:因为nnxxx)1(12)11(x把x换成2x211xnnxxx242)1(1)11(x,得将所给函数展开成幂级数.机动目录上页下页返回结束例5.将函数展开成x的幂级数.解:xxf11)()11()1(0xxnnn从0到x积分,得xxxxnnnd)1()1ln(00,1)1(01nnnxn定义且连续,区间为利用此题可得11x11x上式右端的幂级数在x＝1收敛,有在而1)1ln(xx所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛机动目录上页下页返回结束例6.将展成解:)(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx32)4(!31)4(!21)4(121xxx的幂级数.)4(x3)4(!31x5)4(!51x机动目录上页下页返回结束例7.将展成x－1的幂级数.解:)3)(1(13412xxxx21x21x222)1(xnnnx2)1()1(81nnnnnx)1(2121)1(3220)31(x)21(x41x1机动目录上页下页返回结束内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1(lnxx]1,1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11)1(nnxn式的函数.机动目录上页下页返回结束!)12()1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x!)2()1(2nxnnmx)1(1xm2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(当m=–1时x11,)1(132nnxxxx),(x),(x)1,1(x)1,1(x机动目录上页下页返回结束思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:后者必需证明,0)(limxRnn前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示:xy2cos21210!)2(1)1(2121nnn,!)2(4)1(2121nnnnxn),(x机动目录上页下页返回结束作业P2232(2),(3),(5),(6);3(2);4;6第五节目录上页下页返回结束备用题1.将下列函数展开成x的幂级数解:,)1(02nnnx)1,1(x002d)1(nxnnxx01212)1(nnnxnx＝±1时,此级数条件收敛,,4)0(f,12)1(4)(012nnnxnxf]1,1[x因此机动目录上页下页返回结束)1(lnxx]1,1(x221x331x441x11)1(nnxn2.将在x=0处展为幂级数.解:)1ln(x)32)(1(322xxxx1nnnx)11(x)1ln(23xnnnxn)(23)1(11)(3232xnnnxn])(1[12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)()1(2311机动目录上页下页返回结束