《高等数学》(同济六版)教学课件★第6章.定积分的应用

第六章利用元素法解决:定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用目录上页下页返回结束第一节定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?第六章目录上页下页返回结束表示为一、什么问题可以用定积分解决?1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义一个整体量;目录上页下页返回结束二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法称为元素法(或微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值第二节目录上页下页返回结束四、旋转体的侧面积(补充)三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用第六章目录上页下页返回结束ybxa)(2xfy)(1xfyO一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为A,右下图所示图形面积为xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfyxxdxxxxd目录上页下页返回结束例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:由得交点)1,1(,)0,0(xxxAd)(d23110AxyOxy22xyxxxd)1,1(1目录上页下页返回结束Oxy224xyxy例2.计算抛物线xy22与直线的面积.解:由得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184xy所围图形)2,2(为简便计算,选取y作积分变量,则有42Ayyyd目录上页下页返回结束ab例3.求椭圆解:利用对称性,xyAdd所围图形的面积.有axyA0d4利用椭圆的参数方程π)20(sincosttbytax应用定积分换元法得2π02dsin4ttbaba4212πbaπ当a=b时得圆面积公式xxxdxyO目录上页下页返回结束O一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积目录上页下页返回结束xyaπ2O例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.)cos1(tadA解:ttad)cos1(ttad2sin4π2042)2(tu令uuadsin8π042uuadsin162π0422π3aπ20Attad)cos1(π2022目录上页下页返回结束2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.)(rd在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212AxO目录上页下页返回结束对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:dd)(212aπ20A22a3310π223π34a到2所围图形面积.aπ2xO目录上页下页返回结束心形线xa2Ottadcos82π042例6.计算心形线所围图形的面积.解:dd)cos1(2122aπ02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212π2π23a心形线目录上页下页返回结束2coscos21)2cos1(21aa2xyO例7.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积d)cos1(2122a22π21aA22π21aad)2cos21cos223(2π43π2122aa目录上页下页返回结束a2sin2a例8.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,d2cos212a4π02a)2(d2cos则所求面积为2a思考:用定积分表示该双纽线与圆sin2ar所围公共部分的面积.2Adsin2026πad2cos214π6π2a4π答案:4πyxO目录上页下页返回结束二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,0M1iMiMnM当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni10lims则称OAByx目录上页下页返回结束sdabyxO(1)曲线弧由直角坐标方程给出:)(xfy弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs目录上页下页返回结束(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs目录上页下页返回结束(3)曲线弧由极坐标方程给出:,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)]([)]([22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分):(自己验证)目录上页下页返回结束)ch(cxccxccsh1例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线.求这一段弧长.解:xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxcsh20bcbcsh22eechxxx)(chx2eeshxxx)(shxxshxchcxbbOy下垂悬链线方程为目录上页下页返回结束例10.求连续曲线段解:,0cosx此题2π2πxxysd122π2π的弧长.xxd)cos(12202πxxd2cos222π002π2sin222x4目录上页下页返回结束例11.计算摆线一拱的弧长.解:tstytxd)()(d2dd2dd)cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2π202cos22ta0π2a8xyOaπ2目录上页下页返回结束d222aa例12.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:)0(aard)()(d22rrsd12ad1π202as212a21ln210π2raπ2Oar目录上页下页返回结束三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabx)(xA上连续,目录上页下页返回结束Oxy)(yx特别,当考虑连续曲线段2)]([πxf轴旋转一周围成的立体体积时,有xdbaV当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有2)]([πyyddcVycdxyabxyabO)(xfyx目录上页下页返回结束ayxb例13.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则xxaabad)(π220222(利用对称性)322231π2xxaab0a2π34abOaV02xydπ2x目录上页下页返回结束方法2利用椭圆参数方程则xyVadπ202ttabdsinπ2322π2ab322π34ab1特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积.π343aayxbOx目录上页下页返回结束aπ2xyO例14.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为xyVaxdππ202利用对称性π022)cos1(π2tattad)cos1(ttad)cos1(π2π033ttad2sinπ16π063uuadsinπ322π0633π32a6543212π32π5aaπy)2(tu令xyadπ2π02目录上页下页返回结束xyOaπ2aπ绕y轴旋转而成的体积为a222)sin(πttattadsinπ2)(2yxxπ22)sin(πttattadsin0π注意上下限!π2023dsin)sin(πtttta注)(1yxx注目录上页下页返回结束柱壳体积说明:xxxdy柱面面积π2)sin(tta)cos1(ta目录上页下页返回结束偶函数ttattad)cos1()sin(π222π20π2043d2sin)sin(π8tttta2tu令π043dsin)2sin2(π16uuuua2πuv令vvvvadcos)2sinπ2(π16432π2π奇函数目录上页下页返回结束例15.设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:xtxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(π2d则xxfxttVtd)()(π2)(0xxfttd)(π20xxfxtd)(π20xxftVtd)(π2)(0)(π2tft)(π2tft)(π2)(tftV故)(xfxOy目录上页下页返回结束例16.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,222Ryx解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.ORxyx目录上页下页返回结束ORx),(yxyR思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?)(yA提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22目录上页下页返回结束解:垂直x轴的截面是椭圆1)1()1(22222222axaxczby例17.计算由曲面所围立体(椭球体)它的面积为因此椭球体体积为xbcaxd)1(π22cbπ20acbaπ34特别当a=b=c时就是球体体积.aV02x233axx的体积.Oacb目录上页下页返回结束例18.求曲线132xy与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(1994考研)解:利用对称性,y10x,22x21x,42x故旋转体体积为V43π2xxd)]2(3[π21022xxd)1(π2π361022xxd)1(π22122xxd)1(π22022π15448在第一象限xxd)]4(3[π22122x12yBCAO3目录上页下页返回结束四、旋转体的侧面积(补充)设平面光滑曲线求sySdπ2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(π22它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:xxyO)(xfyab目录上页下页返回结束xyO)(xfyabsySdπ2d侧面积元素xydπ2sdxd若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的)(π2ttttd)()(22S注意:侧面积为xydπ2原因是的线性主部.不是薄片侧面积△S目录上页下页返回结束xxfxfSbad)(1)(π22RxyO例19.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公式得21π2xxS22xR2122xRxxd21dπ2xxxR)(π212xxR当球台高h2R时,得球的表面积公式2π4RS1x2xOzyx目录上页下页返回结束例20.求由星形线