第三章--机器人运动学

第三章机器人运动学§3.1机器人运动方程的表示机器人的机械手看作是一系列由关节连接起来的连杆构成的。为机械手的每一连杆建立一个坐标系，并用齐次变换来描述这些坐标系间的相对位置和姿态。通常把描述一个连杆与下一个连杆间相对关系的齐次变换叫做A矩阵。一个A矩阵就是一个描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换。如果A1表示第一个连杆对于基系的位置和姿态，A2表示第二个连杆相对于第一个连杆的位置和姿态，则第二个连杆在基系中的位置和姿态可由下列矩阵的乘积给出T2=A1A2同理，若A3表示第三个连杆相对于第二个连杆的位置和姿态，则有T3=A1A2A3称这些A矩阵的乘积为T矩阵，其前置上标若为0，则可省略。对于六连杆机械手，有下列T矩阵T6=A1A2A3A4A5A63.1n,o,ap图矢量和机械手的运动方向原点由矢量p表示。接近矢量a：z轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量方向矢量o：y轴设在两手指的连线方向，称为方位矢量法线矢量n：x轴由右手系确定，即n=oa，称为法向矢量。手爪坐标系因此，变换T6具有下列元素。六连杆机械手的T矩阵（T6）可由指定其16个元素的数值来决定。在这16个元素中，只有12个元素具有实际含义。60001xxxxyyyyzzzznoapnoapTnoap机械手由一串用转动或平移关节连接的刚体(杆件)组成。每一对关节–杆件构成一个自由度。杆件的编号由手臂的固定基座开始，固定基座可看成杆件0，第一个运动体是杆件1，依次类推，最后一个杆件与工具相连；关节1处于连接杆件1和基座之间，每个杆件至多与另外两个杆件相联，而不构成闭环。杆件i的长度ai，是杆件上两个关节轴线的最短距离；杆件i的扭转角αi，是两个关节轴线的夹角。3.1.1Denavt-Hartenberg(D-H)表示法AiiiaAi+1任何杆件i都可以用两个尺度表征，如上图所示，AiAi-1idiaia1iaii两个杆件的相对位置由两个参数决定：两杆间的距离di：关节轴上两个法线的距离夹角θi：关节轴上两个法线的夹角为描述相邻杆件间平移和转动的关系。Denavt和Hartenberg(1955)提出了一种为关节链中的每一杆件建立附体坐标系的矩阵方法。D-H方法是为每个关节处的杆件坐标系建立44齐次变换矩阵，表示它与前一杆件坐标系的关系。这样逐次变换，用“手部坐标”表示的末端执行器可被变换并用机座坐标表示。坐标系的建立有两种方式：固联坐标系后置固联坐标系前置3.1.1Denavt-Hartenberg(D-H)表示法n关节机器人需建立n+1个坐标系，其中参考(机座)坐标系为O0x0y0z0，机械手末端的坐标系为Onxnynzn，第i关节上的坐标系为Oi-1xi-1yi-1zi-1。坐标系Si置于连杆Li的远离基座的关节上，故称固联坐标系后置。确定和建立每个坐标系应根据下面3条规则:①zi-1轴沿着第i关节的运动轴；②xi轴垂直于zi-1轴和zi轴并指向离开zi-1轴的方向③yi轴按右手坐标系的要求建立。按照这些规则，第0号坐标系在机座上的位置和方向可任选，只要z0轴沿着第i关节运动轴。第n坐标系可放在手的任何部位、只要xn轴与zn-1轴垂直。固联坐标系后置转动关节连杆四参数示意图9机器人机械手上坐标系的配置取决于机械手连杆连接的类型。有两种连接——转动关节和棱柱联轴节。现在来考虑棱柱联轴节（平动关节）的情况。下图示出其特征参数。棱柱关节连杆四参数示意图和d,3.1.2几何参数定义θi：绕zi-1轴（右手规则）由xi-1轴向xi轴的关节角；di：从第i—1坐标系的原点到zi-1轴和xi轴的交点沿zi-1轴的距离；ai：从zi-1和xi轴的交点到第i根据上述对杆件参数及坐标系的定义，描述串联机器人相邻坐标系之间的关节关系可归结如下4个参数：坐标系原点沿xi轴的偏移距离(是zi-1轴和zi两轴间的最小距离）i：绕xi轴（右手规则）由zi-1轴转向zi轴的偏角。对于转动关节，di、ai、αi是关节参数，θi是关节变量。移动关节的关节参数是θi、ai、αi，di是关节变量。3.1.2几何参数定义将第i个坐标系表示的点ri在i-1坐标系表示，需建立i坐标系和i—1坐标系的齐次变换矩阵，需经过以下交换：(1)将坐标系Oi-1xi-1yi-1zi-1绕zi-1轴转θi角，使xi-1轴与xi平行并指向同一方向；(2)将坐标系Oi-1xi-1yi-1zi-1沿zi-1轴平移距离di，使xi-1轴与Oixiyizi的xi轴重合；(3)将坐标系Oi-1xi-1yi-1zi-1沿xi轴平移距离ai，使两坐标系的原点重合；(4)将坐标系Oi-1xi-1yi-1zi-1绕xi轴转αi角，使两坐标系完全重合。3.1.3建立i坐标系和i-1坐标系的齐次变换矩阵i坐标系和i—l坐标系的齐次变换矩阵i-1Ai可以根据矩阵的合成规则得到，i-1Ai称为相邻坐标系i和i—1的D-H变换矩阵。即1000cossin0sincossincoscossincossinsinsincoscos10000cossin00sincos000011000010000100011000100001000011000010000cossin00sincos1iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiidaaadA固联坐标系后置（zi位于i+1关节轴上），变换公式),()0,0,(),0,0(),(11iiiiiiiixRotaTransdTranszRotA对于在第i坐标系中的点ri在第i—1坐标系中表示为:iiiirrA11ijjiAAAAAAAT1654321010100000iiiiiiPRpaon确定第i坐标系相对于机座坐标系的位置的齐次变换矩阵i-1Ti是各齐次变换矩阵Ai的连乘积，可表示成固联坐标系前置连杆Li的固联坐标系Si的zi轴置于i关节的旋转（或移动）轴上，即坐标系Si置于连杆Li的靠近基座的关节上，故称固联坐标系前置。zi-1与zi的公垂线为xi-1,zi与zi+1的公垂线为xi轴,αi-1:为zi-1与zi的交错角；αi:绕xi轴（右手规则）由zi轴转向zi+1轴的偏角；ai-1：从第i-1坐标系原点到xi-1轴和zi的交点沿xi-1轴的偏移距离ai：从第i坐标系原点到xi轴和zi+1的交点沿xi轴的偏移距离θi:绕zi轴由xi-1轴向xi轴的关节角；di：从xi-1轴和zi轴的交点到第i坐标系的原点沿zi轴的距离1000coscossincossinsinsinsincoscoscossin0sincos),(),(),(),(A11111111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiddazRotdzTransaxTransxRot固联坐标系前置（zi位于i关节轴上），变换公式例建立右图所示机器人相邻坐标系间的转换矩阵解：建立的坐标系如右图，这是二维坐标系(在三维空间中，各坐标系的z轴垂直于纸面)，其相邻坐标系的变换矩阵为10010001001100001111111111111,,11slcsclsclcssclxzTRA100222222222slcsclscA100100222222221111111121slcsclscslcsclscAAT100100)()(111221212111221212112121221212121112121221212121slslcsclclscslsccslccsssccsclsscclcsscsscc式中，c12=cos(1+2)，s12=sin(1+2)容易验证上式的正确性，即：末端位置为[；]T,姿态为1+2；11122clcl12122slsl例建立下图所示PUMA机器人相邻坐标系间的转换矩阵。第三章机器人运动学PUMA560是属于关节式机器人，6个关节都是转动关节。前3个关节确定手腕参考点的位置，后3个关节确定手腕的方位。PUMA机器人的连杆及关节参数表第三章机器人运动学连杆iθiαi-1ai-1di1θ1(90°)0°002θ2(0°)-90°0d23θ3(-90°)0°a204θ4(0°)-90°a3d45θ5(0°)90°006θ6(0°)-90°0010000100000332333csascA10000100000011111csscA10000010000222222csdscA100000csd100a0scA444344410000001000055555csscA100000cs010000scA66666式中：ci=cosisi=sini[例]确定下图所示机器人的位置和姿态解：用D—H法建立坐标系转换矩阵，首先列出各连轩及关节参数，如下表所示。斯坦福机器人及其坐标系图斯坦福机器人的连杆及关节参数表机器人运动学正问题是已知机器人各关节、各连杆参数及各关节变量，求机器人手端坐标在基础坐标中的位置和姿态。§3.2机器人运动学正问题10000010000011111csscA10000100000222222dcsscA10001000010000133dA10000010000044444csscA10000010000055555csscA10000100000066666csscA1000cossin0sincossincoscossincossinsinsincoscos1iiiiiiiiiiiiiiiiiiidaaA将表中的参数分别代入i坐标系和i—l坐标系的齐次变换矩阵i-1Ai可得如下变换矩阵：由手端坐标逐一向基础坐标变换，其过程如下1000010000006666665csscAT100000006656565565656564cscsscssscccAAT100000356565546465464654546465464654633654362dcsscsssccscsscccssccssccsscccTAAAAAT10000035656554646546465454646546465464465463dcsscsssccscsscccssccssccsscccTAAAAT1000)()()()(2546465264654325254265264654265264654232525426526465426526465426226543261dcsccsssscccsdcccscsscccscccscscsscccsdscssccssscscccccssssccccTAAAAAAT100061165432160zzzzyyy