线性代数期末复习资料(EK绝密版)

线性代数复习资料共9页第1页线性代数期末复习资料行列式行列式行列式行列式1.nnnn行列式共有2nnnn个元素，展开后有!nnnn项，可分解为2nnnn行列式；2.代数余子式的性质：①、ijijijijAAAA和ijijijijaaaa的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为AAAA；3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijMAAMMAAMMAAMMAAM++=−=−4.设nnnn行列式DDDD：将DDDD上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1DDDD，则(1)21(1)nnnnnnnnDDDDDDDD−=−；将DDDD顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为2DDDD，则(1)22(1)nnnnnnnnDDDDDDDD−=−；将DDDD主对角线翻转后（转置），所得行列式为3DDDD，则3DDDDDDDD=；将DDDD主副角线翻转后，所得行列式为4DDDD，则4DDDDDDDD=；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)nnnnnnnn−×−；③、上、下三角行列式（=◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)nnnnnnnn−×−；⑤、拉普拉斯展开式：AOACAOACAOACAOACABABABABCBOBCBOBCBOBCBOB==、(1)mnmnmnmnCAOACAOACAOACAOAABABABABBOBCBOBCBOBCBOBC==−⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于nnnn阶行列式AAAA，恒有：1(1)nnnnnknknknknknknknkkkkkkkkkEASEASEASEASλλλ−=−=+−∑，其中kkkkSSSS为kkkk阶主子式；7.证明0AAAA=的方法：线性代数复习资料共9页第2页①、AAAAAAAA=−；②、反证法；③、构造齐次方程组0AxAxAxAx=，证明其有非零解；④、利用秩，证明()rAnrAnrAnrAn；⑤、证明0是其特征值；矩阵矩阵矩阵矩阵1.AAAA是nnnn阶可逆矩阵：⇔0AAAA≠（是非奇异矩阵）；⇔()rAnrAnrAnrAn=（是满秩矩阵）⇔AAAA的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0AxAxAxAx=有非零解；⇔nnnnbRbRbRbR∀∈，AxbAxbAxbAxb=总有唯一解；⇔AAAA与EEEE等价；⇔AAAA可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔AAAA的特征值全不为0；⇔TTTTAAAAAAAA是正定矩阵；⇔AAAA的行（列）向量组是nnnnRRRR的一组基；⇔AAAA是nnnnRRRR中某两组基的过渡矩阵；2.对于nnnn阶矩阵AAAA：**AAAAAEAAAAAEAAAAAEAAAAAE==无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()TTTTTTTTTTTTTTTTAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA−−−−===***111()()()TTTTTTTTTTTTABBAABBAABBAABBAABBAABBAABBAABBAABBAABBAABBAABBA−−−===4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均AAAA、BBBB可逆：若12ssssAAAAAAAAAAAAAAAA⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O，则：Ⅰ、12ssssAAAAAAAAAAAAAAAA=L；线性代数复习资料共9页第3页Ⅱ、111121ssssAAAAAAAAAAAAAAAA−−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O；②、111AOAOAOAOAOAOAOAOOBOBOBOBOBOBOBOB−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；（主对角分块）③、111OAOAOAOAOBOBOBOBBOBOBOBOAOAOAOAO−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；（副对角分块）④、11111ACACACACAACBAACBAACBAACBOBOBOBOBOBOBOBOB−−−−−⎛⎞−⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；（拉普拉斯）⑤、11111AOAOAOAOAOAOAOAOCBCBCBCBBCABBCABBCABBCAB−−−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠；（拉普拉斯）矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mnmnmnmn×矩阵AAAA，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rrrrmnmnmnmnEOEOEOEOFFFFOOOOOOOO×⎛⎞=⎜⎟⎝⎠；等价类：所有与AAAA等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵AAAA、BBBB，若()()rArBABrArBABrArBABrArBAB=⇔；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）1、若(,)(,)rrrrAEEXAEEXAEEXAEEX，则AAAA可逆，且1XAXAXAXA−=；②、对矩阵(,)ABABABAB做初等行变化，当AAAA变为EEEE时，BBBB就变成1ABABABAB−，即：1(,)(,)ccccABEABABEABABEABABEAB−∼；③、求解线形方程组：对于nnnn个未知数nnnn个方程AxbAxbAxbAxb=，如果(,)(,)rrrrAbExAbExAbExAbEx，则A可逆，且1xAbxAbxAbxAb−=；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：线性代数复习资料共9页第4页①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12nnnn⎛⎞⎜⎟⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎝⎠Oλλλ，左乘矩阵AAAA，iiiiλ乘AAAA的各行元素；右乘，iiiiλ乘AAAA的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)EijEijEijEij，且1(,)(,)EijEijEijEijEijEijEijEij−=，例如：1111111−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；④、倍乘某行或某列，符号(())EikEikEikEik，且11(())(())EikEiEikEiEikEiEikEikkkk−=，例如：1111(0)11kkkkkkkkkkkk−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=≠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；⑤、倍加某行或某列，符号(())EijkEijkEijkEijk,且1(())(())EijkEijkEijkEijkEijkEijkEijkEijk−=−，如：11111(0)11kkkkkkkkkkkk−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=≠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；5.矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)mnmnmnmnrAmnrAmnrAmnrAmn×≤≤；②、()()TTTTrArArArArArArArA=；③、若ABABABAB，则()()rArBrArBrArBrArB=；④、若PPPP、QQQQ可逆，则()()()()rArPArAQrPAQrArPArAQrPAQrArPArAQrPAQrArPArAQrPAQ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()rArBrABrArBrArBrABrArBrArBrABrArBrArBrABrArB≤≤+；（※）⑥、()()()rABrArBrABrArBrABrArBrABrArB+≤+；（※）⑦、()min((),())rABrArBrABrArBrABrArBrABrArB≤；（※）线性代数复习资料共9页第5页⑧、如果AAAA是mnmnmnmn×矩阵，BBBB是nsnsnsns×矩阵，且0ABABABAB=，则：（※）Ⅰ、BBBB的列向量全部是齐次方程组0AXAXAXAX=解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()rArBnrArBnrArBnrArBn+≤⑨、若AAAA、BBBB均为nnnn阶方阵，则()()()rABrArBnrABrArBnrABrArBnrABrArBn≥+−；6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）×行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001acacacacbbbb⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnnnnnmnmmnnnnmmnmnnnmnmmnnnnmmnmnnnmnmmnnnnmmnmnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnmmmmabCaCabCabCabCbCababCaCabCabCabCbCababCaCabCabCabCbCababCaCabCabCabCbCab−−−−−=+=++++++=∑LL；注：Ⅰ、()nnnnabababab+展开后有1nnnn+项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!−−+====−LLLmnnnnnnnmnCCCmmnmⅢ、组合的性质：111102−−−+−===+==∑nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nrAnnrAnnrAnnrAnrArAnrArAnrArAnrArAnrAnrAnrAnrAn=⎧⎪==−⎨⎪−⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAAAAAAAXXAAAAXXAXXAAAAXXAXXAAAAXXAXXAAAAXXλλλ−==⇒=；③、*1AAAAAAAAAAAA−=、1*nnnnAAAAAAAA−=8.关于AAAA矩阵秩的描述：①、()rAnrAnrAnrAn=，AAAA中有nnnn阶子式不为0，1nnnn+阶子式全部为0；（两句话）②、()rAnrAnrAnrAn，AAAA中有nnnn阶子式全部为0；③、()rAnrAnrAnrAn≥，AAAA中有nnnn阶子式不为0；9.线性方程组：AxbAxbAxbAxb=，其中AAAA为mnmnmnmn×矩阵，则：线性代数复习资料共9页第6页①、mmmm与方程的个数相同，即方程组AxbAxbAxbAxb=有mmmm个方程；②、nnnn与方程组得未知数个数相同，方程组AxbAxbAxbAxb=为nnnn元方程；10.线性方程组AxbAxbAxbAxb=的求解：①、对增广矩阵BBBB进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11.由nnnn个未知数mmmm个方程的方程组构成nnnn元线性方程：①、11112211211222221122nnnnnnnnnnnnnnnnmmnmnnmmnmnnmmnmnnmmnmnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩LLLLLLLLLLLLLL；②、1112111212222212nnnnnnnnmmmnmmmmmnmmmmmnmmmmmnmmaaaxbaaaxbaaaxbaaaxbaaaxbaaaxbaaaxbaaaxbAxbAxbAxbAxbaaaxbaaaxbaaaxbaaaxb⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⇔=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠LLMMOMMML（向量方程，AAAA为mnmnmnmn×矩阵，mmmm个方程，nnnn个未知数）③、()1212nnnnnnnnxxxxxxxxaaaaaaaaaaaaxxxxββββ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LM（全部按列分块，其中12nnnnbbbbbbbbbbbbββββ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝