2011全国各省市中考数学压轴题精选精析

第1页2011全国各省市中考数学压轴题精选精析1、（2011•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；（3）已知▱AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．考点：一次函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理。专题：综合题；分类讨论。分析：（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可；（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可．解答：解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，如图1，∵点D在以AB为直径的半圆上，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，第2页在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=，∵AE∥BF，∴两条射线AE、BF所在直线的距离为．（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=或﹣1＜b＜1；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：①当点M在射线AE上时，如图2．∵AMPQ四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的上方，∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合，∴0＜PQ＜．∵AM∥PQ且AM=PQ，∴0＜AM＜∴﹣2＜x＜﹣1，②当点M不在弧AD上时，如图3，∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．③当点M在弧BD上时，设弧DB的中点为R，则OR∥BF，当点M在弧DR上时，如图4，过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点．第3页∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形，∴0≤x＜．当点M在弧RB上时，如图5，直线PQ必在直线AM的下方，此时不存在满足题意的平行四边形．④当点M在射线BF上时，如图6，直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．综上，点M的横坐标x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1或0≤x＜．点评：本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分类讨论思想．2、（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求c，b（用含t的代数式表示）：第4页（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．考点：二次函数综合题。分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）①当x=1时，y=1﹣t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；（3）根据图形，即可直接求得答案．解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=﹣t；（2）①不变．如图6，当x=1时，y=1﹣t，故M（1，1﹣t），∵tan∠AMP=1，第5页∴∠AMP=45°；②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM=（t﹣4）（4t﹣16）+[（4t﹣16）+（t﹣1）]×3﹣（t﹣1）（t﹣1）=t2﹣t+6．解t2﹣t+6=，得：t1=，t2=，∵4＜t＜5，∴t1=舍去，∴t=．（3）＜t＜．点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．3．（2011•江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型:设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为2()(0)ayxxx＞．探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)yxxx＞的图象性质．①填写下表，画出函数的图象：x……1413121234……y…………②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1yxx(x＞0)的最小值．解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．【答案】解:⑴①1xyO134522354－1－1第6页x……1413121234……y……17410352252103174……函数1yxx(0)x的图象如图．②本题答案不唯一，下列解法供参考．当01x时，y随x增大而减小；当1x时,y随x增大而增大；当1x时函数1yxx(0)x的最小值为2．③1yxx=221()()xx=22111()()22xxxxxx=21()2xx当1xx=0，即1x时，函数1yxx(0)x的最小值为2．⑵仿⑴③2()ayxx=222()()axx=222()()22aaaxxxxxx=22()4axax当axx=0，即xa时，函数2()(0)ayxxx＞的最小值为4a．⑵当该矩形的长为a时，它的周长最小，最小值为4a．【考点】画和分析函数的图象,配方法求函数的最大(小)值．【分析】⑴将x值代入函类数关系式求出y值,描点作图即可.然后分析函数图像.⑵仿⑴③2()ayxx=222()()axx=222()()22aaaxxxxxx=22()4axax第7页所以,当axx=0，即xa时，函数2()(0)ayxxx＞的最小值为4a4．（2011•江苏杨州）在ABC△中，90BACABACM°，，是BC边的中点，MNBC⊥交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQMP⊥．设运动时间为t秒（0t）．（1）PBM△与QNM△相似吗？以图１为例说明理由；（2）若6043ABCAB°，厘米．①求动点Q的运动速度；②设APQ△的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求22BPPQCQ2、、三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．【答案】解：（1）PBMQNM△∽△．理由如下：如图1，MQMPMNBC⊥，，9090PMBPMNQMNPMN°，°，PMBQMN．9090PBMCQNMC°，°，PBMQNM．PBMQNM△∽△．（2）9060283BACABCBCAB°，°，cm．又MN垂直平分BC，43BMCMcm．ABPNQCMABCNM图1图2（备用图）第8页3303CMNCM°，＝4cm．①设Q点的运动速度为vcm/s．如图１，当04t时，由（1）知PBMQNM△∽△．NQMNBPMB，即4133vtvt，．如图2，易知当4t≥时，1v．综上所述，Q点运动速度为1cm/s．②1284cmANACNC，如图1，当04t时，4334APtAQt，．12SAP21343348322AQttt·．如图2，当t≥4时，343APt,4AQt,12SAP21334348322AQttt·．综上所述，2238304238342ttStt≥ABPNQCMABCNM图1图2（备用图）DPQ第9页（）222PQBPCQ理由如下：如图，延长QM至D，使MDMQ，连结BD、PDBC、DQ互相平分，四边形BDCQ是平行四边形，BDCQ∥.90BAC°，90PBD°，22222PDBPBDBPCQ．PM垂直平分DQ，PQPD．222PQBPCQ【考点】相似三角形的判定,。【分析】（1）由PMBQMNPMN和都互余得到PMBQMNPBMQNMCPBMQNM由和都与互余得到=从而PBMQNM△∽△．（2）①由于6043ABCAB°，厘米，点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动，故点P从点B出发沿射线BA到达点A的时间为4秒,从而应分两种情况04t和4t≥分别讨论。②分两种情况04t和4t≥，把,APBPt和分别用表示求出面积即可。（3）要探求22BPPQCQ2、、三者之间的数量关系就要把BPPQCQ、、放到一个三角形中，故作辅助线延长QM至D，使MDMQ，连结BD、PD得到PQPD，=BDCQ，从而在RtPBD中，22222PDBPBDBPCQ，4、（2011•江苏连云港）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t/秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．（1）当时t=1时，正方形EFGH的边长是1．当t=3时，正方形EFGH的边长是4．（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？第10页考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤时；②当＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；（3）当t=5时，面积最大；解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，∴正方形EFGH的边长是2；当t=3时，PE=1，PF=3，∴正方形EFGH的边长是4；（2）：①当0＜t≤时，S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2；②当＜t≤时，S与t的函数关系式是：y=4t2﹣[2t﹣（2﹣t）]×[2t﹣（2﹣t）]，=﹣t2+11t﹣3；第11页③当＜t≤2时；S与t的函数关系式是：y=（t+2）×（t+2）﹣（2﹣t）（2﹣t），=3t；（3）当t=5时，最大面积是：s=16﹣××=；点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．5．（2011•江苏淮安）某课题研究小组就图形面积问题进行专题