复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

1复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y是u的函数，u又是x的函数，即()yfu，()ugx，那么y关于x的函数(())yfgx叫做函数()yfu（外函数）和()ugx（内函数）的复合函数，其中u是中间变量，自变量为x函数值为y。例如：函数212xy是由2uy和21ux复合而成立。说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())yfgx中x的取值范围。⑵x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为()gx的值域。⑶))((xgf与))((xfg表示不同的复合函数。2．求有关复合函数的定义域①已知)(xf的定义域为)(ba,，求))((xgf的定义域的方法：已知)(xf的定义域为)(ba,，求))((xgf的定义域。实际上是已知中间变量的u的取值范围，即)(bau,，)()(baxg,。通过解不等式bxga)(求得x的范围，即为))((xgf的定义域。②已知))((xgf的定义域为)(ba，，求)(xf的定义域的方法：若已知))((xgf的定义域为)(ba，，求)(xf的定义域。实际上是已知直接变量x的取值范围，即)(bax，。先利用bxa求得)(xg的范围，则)(xg的范围即是)(xf的定义域。3．求有关复合函数的解析式①已知)(xf求复合函数)]([xgf的解析式，直接把)(xf中的x换成)(xg即可。②已知)]([xgf求)(xf的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法：就是在)]([xgf中把关于变量x的表达式先凑成)(xg整体的表达式，再直接把)(xg换成x而得)(xf。换元法：就是先设txg)(，从中解出x（即用t表示x），再把x（关于t的式子）直接代入)]([xgf中消去x得到)(tf，最后把)(tf中的t直接换成x即得)(xf。24.求复合函数的单调性若)(xgu)(xfy则)]([xgfy增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数即“同增异减”法则5.复合函数的奇偶性一偶则偶，同奇则奇【例题讲解】一、复合函数定义域解析式例1设函数53)(,32)(xxgxxf，求))(()),((xfgxgf．例2已知xxxf2)12(2，求)122(f例3①已知,1)(2xxf求)1(xf；②已知1)1()1(2xxf，求)(xf．例4⑴若函数)(xf的定义域是[0，1]，求)21(xf的定义域；⑵若)12(xf的定义域是[-1，1]，求函数)(xf的定义域；⑶已知)3(xf定义域是5,4，求)32(xf定义域．例5①已知xxxf1)1(，求)(xf；②已知221)1(xxxxf，求)1(xf．例6①已知)(xf是一次函数，满足172)1(2)1(3xxfxf，求)(xf；3②已知xxfxf4)1(2)(3，求)(xf．二、复合函数单调性及其值域①初等函数复合求单调区间与值域例1已知函数22513xxy，求其单调区间及值域。变式练习11.求函数)(xf=2215.0xx的单调区间及值域2.求函数523421xxy的单调区间和值域.例2求)(xf=2-4-5xx的单调区间及值域变式练习2求函数f(x)=212x的单调区间及值域例3求211221(log)log52yxx在区间[2,4]上的最大值和最小值变式练习341.求函数)45(log)(22xxxf的单调区间及值域2.求函数2logy2x·4log2x])81[(,x的最大值和最小值.②含参数的复合函数单调性与值域问题例4已知函数)253(log)(2xxxfa（0a且1a）试讨论其单调性。例5求函数)2(log2xaaaxy的值域。变式练习41.讨论函数)1(logxaay的单调性其中0a，且1a．③根据复合函数单调性或值域求参数取值范围例6设函数)12lg()(2xaxxf，若)(xf的值域为R，求实数的取值范围．例7已知)2(logaxya在区间]10[,上时减函数，求a的取值范围.5例8若函数)3(log2axxya在区间]21(a,上为减函数，求实数a的取值范围.变式练习5已知函数122axxy在区间3,上是增函数,求a的范围.解:令12axxu,则原函数是由12axxu与uy2复合而成.原函数在区间3,上是增函数,而外层函数uy2始终是增函数,则易知内层函数12axxu在区间3,上也是增函数.而实质上原函数的最大单调增区间是2,a,由3,2,a得32a,即6a.【过关检测】1.（1）)(xf452xx;2）5)21(4)41()(xxxg2.求下列函数的单调递增区间：（1）22621xxy;(2)622xxy.3.已知函数)10(log)(aaxxfa,，如果对于任意)3[,xx都有1)(xf成立，试求a的取值范围.4.已知函数)(log)(2aaxxxfaf（x）=log2(x2-ax-a)在区间]31,(上是单调递减函数.求实数a的取值范围.65求函数)32(log125.0xxy的单调区间【考试链接】1.（2008山东临沂模拟理，5分）若1a，且yaxaayaxloglog，则x与y之间的大小关系是（）A．0yxB．0yxC．0xyD．无法确定2.函数|1|||lnxeyx的图象大致是（）3．（2008江苏南通模拟，5分）设xxfalog)(（0a且1a），若1)()()(21nxfxfxf（Rxi，ni,,2,1），则)()()(33231nxfxfxf的值等于________。4．（2008海南海口模拟文、理，5分）若函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则实数k的取值范围是________。5．（2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题：①函数xay（0a且1a）与函数xaaylog（0a且1a）的定义域相同；②函数3xy和xy3的值域相同；③函数12121xy与xxxy2)21(2都是奇函数；④函数2)1(xy与12xy在区间),0[上都是增函数。其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上）