工程经济学(2)

8备课纸第二章利息及等值的计算　一、利息计算公式　二、等值的计算　三、财务现金流量表一、利息计算公式　一）利息的种类1　、单利计息；2、复利计息　二）现金流量图（CashFlowDiagram）　三）利息计算公式1　、一次支付复利公式；2、一次支付现值公式3　、等额支付系列复利公式；4、等额支付系列积累基金公式5　、等额支付系列资金恢复公式；6、等额支付系列现值公式　四）运用利息公式应注意的问题　五）名义利率和有效利率1　、离散式复利；2、连续式复利　六）梯度公式1　、等差梯度系列；2、等比梯度系列　七）利息与本金的分离一、利息计算公式　一）利息的种类1　、单利计息　假设以年利率10%借入资金1000元，共借4年，其偿还情况如下表所示：年年初欠款年末应付利息年末欠款年末偿还1100010011000211001001200031200100130004130010014001400　即每期均按原始本金计算利息，这种计息方式称为单利（计息）。单利计息公式　利息与时间呈线性关系，不论计息期数为多大，只有本金计息，而利息本身不再计息。设P代表本金，n代表计息期数，i代表利率，I代表所付或所收的总利息，F代表本利和，则有：)1(niPFPniI+==2、复利计息　将本期的利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息，这种计息方式称为复利（计息）。　同样设P代表本金，n代表计息期数，i代表利率，I代表所付或所收的总利息，F代表本利和，则有：9备课纸年年初欠款年末应付利息年末欠款年末偿还11000100110002110011012100312101211331041331133.11464.11464.1(){}11)1(−+=+=nniPIiPF二）现金流量图（CashFlowDiagram）对现金流量图的几点说明1、水平线是时间标度，每一格代表一个时间单位（年、月、日），第n格的终点和第n+1格的起点是相重合的。2、箭头表示现金流动的方向，向下的箭头表示支出（现金的减少），向上的箭头表示现金收入（现金的增加），箭头的长短与收入或支出的大小成比例。3、现金流量图与立脚点（着眼点）有关：如贷款人的立脚点，或者借款人的立脚点。三）利息计算公式1　、一次支付复利公式()niPF+=1　——利率（interestrate）；in　——计息期数（number）；P　——现在值（PresentValue/worth）；F　——将来值（FutureValue/worth）；　——一次支付复利系数（single-paymentcompoundamountfactor），ni)1(+　有时记为（F/P,,n）,则有F=P（F/p,,n）ii10备课纸推导：第一年年初P第一年年末)1(iPPiP+=+第二年年末，……，2)1()1()1(iPiiPiP+=+++第年年末nnnP)1(+案例分析在第一年年初，以年利率6%投资1000元，则到第四年年末可得本利和若干？解答：50.1262%)61(1000)1(4=+×=+=niPF或者50.12622625.11000),,/(=×==niPFPF2、一次支付现值公式()),,/(,,11niFPFPiFPn=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=或案例分析　为了在第四年年末得到1262.50元，按年利率6%计算，现在必须投资多少？解答：（元）1000%)61(150.1262)1(14=+×=+=niFP3、等额支付系列复利公式iiAFiAiAAFnn1)1()1()1(1−+=+++++=−Λ或者),,/(niAFAF=11备课纸案例分析连续5年每年年末借款1000元，按年利率6%计算，第5年年末累积借款若干？（元）10.56376371.51000),,/(10001)1(=×==−+=niAFiiAFn4、等额支付系列积累基金公式()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=11niiFA或者),,/(niFAFA=案例分析如果要在第5年年末得到资金1000元，按年利率6%计算，从现在起连续5年每年必须存储若干？（元）40.1771774.01000),,/()1(=×==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=niFAFiiFAn5、等额支付系列资金恢复公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=1)1()1(nniiiPA，或者),,/(niPAPA=12备课纸公式推导niPFniFAFA)1(),,/(+==案例分析如果现在以年利率5%投资1000元，在今后的8年中，每年年末以相等的数额提取回收本利和，则每年年末可以等额提取若干？())(70.1541547.01000),,/(1)1(1元=×==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=niPAPiiiPAnn6、等额支付系列现值公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+=nniiiAP)1(1)1(，或者，),,/(niAPAP=案例分析按年利率6%计算，为了能够在今后5年中每年年末得到100万元的利润，假设不考虑残值的影响，现在应投资若干？)(24.4212124.4100),,/(1)1()1(万元=×==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=niAPAiiiAPnn13备课纸四）运用利息公式应注意的问题1　、实施方案所需的初始投资，假定发生在方案的寿命期初（期初惯例）；2　、方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末（期末惯例）；3　、本年的年末即是下一年的年初；4　、P是在当年度开始时发生；5　、F是在当年以后的第n年年末发生；6　、A是在考察期间各年年末发生。当现金流量系列包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当现金流量系列包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生。五）名义利率和有效利率　当利率的时间单位与计息期不一致时，就出现了名义利率和有效利率的概念。　例如，“年利率12%，每月计息一次”。此时，12%为名义利率，有效利率为：%68.121%)11(112=−+×=i。案例分析　如果实际的年利率为12%，按每月计息一次，那么实际的月利率为多少？　解析：假设月实际利率为r，则有(1+r)12=1+12%，从而可估算出月实际利率为0.95%，年名义利率为12×0.95%=11.4%。1、离散式复利按期（年、季、月和日）计息的方法称为离散式复利。一年中计算复利的次数越频繁，则年有效利率比年名义利率越高。111)(,1−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=nnnnrPPnrPinrPFnrnr年有效利率：数公式，年末本利和为，根据一次支付复利系为次，每次计息的利率，一年中计算利息如果名义利率为2、连续式复利按瞬时计息的方式称为连续复利。在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次计算，年有效利率为：14备课纸1,111,11−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=∞→∞→rrnnrrnnnneienrnrnrnrLimiLim所以由于名义利率和有效利率计算复利的方式一年中的计息期数各期的有效利率年有效利率按年112.0000%12.0000%按半年26.0000%12.3600%按季43.0000%12.5509%按月121.0000%12.6825%按日3650.0329%12.7475%连续地0.0000%12.7497%连续式复利下的计算公式())1(1)1(1)1(111)1(1−−=+−+=−−=−+==+=rnrnrnnrnrnnrneeeAiiiAPeeAiiAFPeiPF案例分析的季节。时，就到了伐树等于树木的生长比例无关；第二，当利率策成本，与利润最大化决的劳动投入是一种沉没也就是说：第一，最初得以使收益最大化。令时期决策选择的折现值为，则树木所有者净收益为工资（最初投资）），支付给植树工人的，生长率随时间而减缓，即树木永远生长；（其中的价值为假设一棵树在时刻)()()()(0)(,)()(0)(0)()(,,tftfrtftfrtNPVdtdtLtfetNPVLtftftftrt′′==−=′′′−15备课纸少？，则最优收获树龄为多、如果利率增至请思考：好的投资方式。，则林场主可以找到更则树木每年增长率低于，，如果许树木继续生长；但是因此，最优决策就是允的速度增长，年时，树木每年以超过。树龄不到即龄为则可以求解最优收获树生长，假设利率为假设树木按照%51%425%42525,04.0%,4)(2.0)()(4.0=====′ttretfttftft六）梯度公式一台机器设备随着使用而日益老化，维护所需劳动力和备件将越来越多，所需费用也将逐步增加，因而出现梯度现金流量。每期的增量变化可能是等差的（arithmetic），即以相同的金额变化（增加或减少）；每期的增量变化可能是等比的（geometric），即以相同百分比率变化。1、等差梯度系列第一个G发生在系列的第2年年末；首先把梯度系列0,G,2G,…,（n-1）G分解成（n-1）个年末支付为G的等额支付，并通过等额支付复利公式求得将来值F，再通过等额支付系列积累基金公式求得A。[][][][]),,/(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1()1(/()2,,/()2,,/()1,,/(11)1(1)1(:1)1(22112211)1(1)1(1)1(1)1(1221niFAGFAiiiiniiiiGGGGAFGiAFGniAFGniAFGFiniiiinGiGiiinGiiiGinGnniGnniGiiiiiiiinnnnn−=×−==−=−+++++++++=×−−++++++++=++++=+++−+−=−+−+−+−−−−−+−+−+−+−−或者ΛΛΛΛ16备课纸案例分析假设某台设备在未来5年中预计的操作费用分别为1100元、1225元、1350元、1475元和1600元，如果折现率为12%，那么其等额的年成本是多少？13237746.11251100)5%,12,/(1251100=×+=+=GAA2、等比梯度系列在等比梯度系列中，流量以一个不变的百分比率变动。其变动的方向可能是正的，也可能是负的。设变动的百分比为g，请证明：nnigAigAigAiAP)1()1()1()1()1()1(11322+++++++−++++=Λ1),,/)(,,/(1)1()1(1)1(][][−−−−++−+====≠−iAnPgiAPAPgiginiFPngPFgiignn，，时当或者，时当案例分析在某高层建筑的经济分析中，估计第一年的经营收入为1000万元，并且以后每年以8%的比率递增。分析的时间边界为10年。资金的机会成本为12%。如果忽略税收和通货膨胀等因素，在所选择的时间边界中，收入的现值为多少？762110001000][04.03220.01589.21%8%12)10%,12,/)(10%,8,/(1),,/)(,,/(1=×=×==×−−−−−FPPFginiFPngPFAP七）利息与本金的分离贷款的定期偿还通常分为两部分，利息与本金，这是由于利息可能从一项业务的应税收入中扣除，而本金则不能扣除。例如，某人借贷10万元购买住宅，5年期，12%的利率。如果房屋贷款利息可以从应税收入中扣除，试计算每年的贷款利息？解：每年的总支付（本金和利息）为：（元）2774127741.0100000)5%,12,/(100000),,/(=×===PAniPAPA17备课纸各年度总支付中，利息部分与本金部分的计算如下表所示。其中，任意第j年的余额之计算通式为：jR),,/(jniAPARj−=。年支付A利息部分本金部分余额10000012774112000157418425922774110111176306662932774179961974546884427741562622115247695277412792247690下图中，利息部分与本金部分的分割线是一条曲线。二、等值(EquivalentValue)的计算货币等值是考虑了货币时间价值的等值；即使是金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等；反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值却可能相等。货币的等值包括三个要素：（1）金额