由递推公式求通项的9种方法经典总结

1精析由递推公式求通项的9种方法1．an＋1＝an＋f(n)型把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．[例1]已知数列{an}满足a1＝12，an＋1＝an＋1n2＋n，求an.[解]由条件，知an＋1－an＝1n2＋n＝1nn＋1＝1n－1n＋1，则(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n，所以an－a1＝1－1n.因为a1＝12，所以an＝12＋1－1n＝32－1n.2．an＋1＝f(n)an型把原递推公式转化为an＋1an＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a2a1＝f(1)，a3a2＝f(2)，…，anan－1＝f(n－1)，累乘可得ana1＝f(1)f(2)…f(n－1)．[例2]已知数列{an}满足a1＝23，an＋1＝nn＋1·an，求an.[解]由an＋1＝nn＋1·an，得an＋1an＝nn＋1，故an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝n－1n×n－2n－1×…×12×23＝23n.即an＝23n.3．an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)，比较系数可知t＝qp－1，可令an＋1＋t2＝bn＋1换元即可转化为等比数列来解决．[例3]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.[解]设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.4．an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型(1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得an＋1qn＋1＝pq·anqn＋1q，引入辅助数列{bn}其中bn＝anqn，得bn＋1＝pq·bn＋1q，再用待定系数法解决；(2)也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得an＋1pn＋1＝anpn＋1p·qpn，引入辅助数列{bn}其中bn＝anpn，得bn＋1－bn＝1pqpn，再利用叠加法(逐差相加法)求解．[例4]已知数列{an}中，a1＝56，an＋1＝13an＋12n＋1，求an.[解]法一：在an＋1＝13an＋12n＋1两边乘以2n＋1，得2n＋1·an＋1＝23(2n·an)＋1.令bn＝2n·an，则bn＋1＝23bn＋1，根据待定系数法，得bn＋1－3＝23(bn－3)．所以数列{bn－3}是以b1－3＝2×56－3＝－43为首项，以23为公比的等比数列．所以bn－3＝－43·23n－1，即bn＝3－223n.3于是，an＝bn2n＝312n－213n.法二：在an＋1＝13an＋12n＋1两边乘以3n＋1，得3n＋1an＋1＝3nan＋32n＋1.令bn＝3n·an，则bn＋1＝bn＋32n＋1.所以bn－bn－1＝32n，bn－1－bn－2＝32n－1，…，b2－b1＝322.将以上各式叠加，得bn－b1＝322＋…＋32n－1＋32n.又b1＝3a1＝3×56＝52＝1＋32，所以bn＝1＋32＋322＋…＋32n－1＋32n＝1·1－32n＋11－32＝232n＋1－2，即bn＝232n＋1－2.故an＝bn3n＝312n－213n.5．an＋1＝pan＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)，与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为{an＋xn＋y}是公比为p的等比数列．[例5]设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求an.[解]设递推公式可以转化为an＋An＋B＝3[an－1＋A(n－1)＋B]，化简后与原递推式比较，得2A＝2，2B－3A＝－1，解得A＝1，B＝1.令bn＝an＋n＋1.(*)4则bn＝3bn－1，又b1＝6，故bn＝6·3n－1＝2·3n，代入(*)式，得an＝2·3n－n－1.6．an＋1＝parn(p0，an0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为an＋1＝pan＋q型数列，再利用待定系数法求解．[例6]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1a·a2n(a0)，求数列{an}的通项公式．[解]对an＋1＝1a·a2n的两边取对数，得lgan＋1＝2lgan＋lg1a.令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn＋lg1a.由此得bn＋1＋lg1a＝2bn＋lg1a，记cn＝bn＋lg1a，则cn＋1＝2cn，所以数列{cn}是以c1＝b1＋lg1a＝lg1a为首项，2为公比的等比数列．所以cn＝2n－1·lg1a.所以bn＝cn－lg1a＝2n－1·lg1a－lg1a＝lga·1a2n－1＝lga1－2n，即lgan＝lga1－2n，所以an＝a1－2n.7．an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)型对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式[例7]已知数列{an}的首项a1＝35，an＋1＝3an2an＋1，n＝1,2,3，…，求{an}的通项公式．[解]∵an＋1＝3an2an＋1，∴1an＋1＝23＋13an，∴1an＋1－1＝131an－1.又1a1－1＝23，5∴1an－1是以23为首项，13为公比的等比数列，∴1an－1＝23·13n－1＝23n，∴an＝3n3n＋2.8.)(1nfaann型由原递推关系改写成),()1(2nfnfaann然后再按奇偶分类讨论即可例8.已知数列na中，,11a.21naann求na解析：.21naann2212naann，故22nnaa即数列na是奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，*,1,1,Nnnnnnnan且，为偶数为奇数9.)(1nfaann型将原递推关系改写成)1(12nfaann，两式作商可得,)()1(2nfnfaann然后分奇数、偶数讨论即可例9.已知数列na中，,2,311nnnaaa求na解析：Nnnnnannn,1,231,23221，为偶数为奇数