相似三角形培优(2)

第1页（共46页）2018年九年级优生培训试题相似三角形一．解答题（共37小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且BE：CE=1：2，AE交BD于点F，求：（1）的值；（2）△BEF与△DAF的周长比、面积的比．2．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC的长．（1）若AB=12，BE=3，求EF的长；（2）求∠EOF的度数；（3）若OE=OF，求的值．3．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，CE=CD，连接EB、ED，延长BE交AD于点F．求证：DF2=EF•BF．4．如图，BF和CE分别是钝角△ABC（∠ABC是钝角）中AC、AB边上的中线，又BF⊥CE，垂足是G，过点G作GH⊥BC，垂足为H．（1）求证：GH2=BH•CH；（2）若BC=20，并且点G到BC的距离是6，则AB的长为多少？5．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．第2页（共46页）6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC=3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求△BEG的面积．7．如图，△ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点．（1）当BD、BC和CE满足什么条件时，△ADB∽△EAC？（2）当△ADB∽△EAC时，求∠DAE的度数．8．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求DE的长．9．操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C，D不重合），使三角板的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．（1）根据操作结果，画出符合条件的图形；（2）观察所画图形，写出一个与△BPC相似的三角形，并说明理由；（3）当点P位于CD的中点时，直接写出（2）中两对相似三角形的相似比．第3页（共46页）10．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．11．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．（1）用含t的代数式表示：AP=，AQ=．（1）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？12．如图，已知：正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE交AE于点G．（1）求证：GF=BF；（2）若EB=1，BC=4，求AG的长；（3）在BC边上取点M，使得BM=BE，连接AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF．第4页（共46页）13．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，在AB边上求作一点P，使得△BPC∽△BCA（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）14．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC=∠DBE，∠3=∠4．求证：（1）△ABD∽△CBE；（2）△ABC∽△DBE．15．如图，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，且DE=4，BC=12，AC=8，求AD的长．17．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF=3FD．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）△ABE与△BEF相似吗？为什么？18．如图①，在△ABC中，AC=BC，点D是线段AB上一动点，∠EDF绕点D旋转，在旋转过程中始终保持∠A=∠EDF，射线DE与边AC交于点M，射线DE与边BC交于点N，连接MN．（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；（2）如图②，在上述条件下，当点D运动到AB的中点时，求证：在∠EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值．第5页（共46页）19．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AE交BD于点F，且BE2=EF•EA．（1）∠BAE与∠EBD相等吗？为什么？（2）若CD=4，BD=4，求BF的长．20．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，连接AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AF平分∠BAC，求证：AC2=2AG•AF．21．△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE；（2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．22．如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，点G在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设AB=BC=10，AC=6．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）判断△BDG与△DFG是否相似，并说明理由．23．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，交DE于点H，AM⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=4，AB=6，求的值．24．已知：正方形ABCD中，AB=4，E为CD边中点，F为AD第6页（共46页）边中点，AE交BD于G，交BF于H，连接DH．（1）求证：BG=2DG；（2）求AH：HG：GE的值；（3）求的值．25．一块三角形材料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D、E、F分别在BC、AB、AC上．设EF=x，请解答下列问题：（1）若矩形CDEF的面积为8，求x的值；（2）矩形CDEF的面积能否为10？给出你的结论并说明理由．26．如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB=∠ACB+90°．（1）求证：∠CAD+∠CBD=90°；（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE=BD，连接EC，若AC•BD=AD•BC，①求证：△ACD∽△BCE；②求的值．27．已知如图，△ABC中，点D是边AC上的一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF∥AC交AB于点F，若CD=2，BF=，BC=3，，求DE及CE的长．28．如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q．第7页（共46页）（1）求△CEF的周长；（2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ．29．如图，BD是▱ABCD的对角线，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E，AF⊥CE于点F，AE=10．（1）若∠ADB=120°，求AF的长；（2）若DC平分∠BDE，求四边形BCED的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）30．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，求：出发几秒时，四边形DFCE的面积为20cm2．31．如图，在△ABC中．AB=AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD于点G．（1）求证：AD2=AB•AE；（2）若AB=3，AE=2，求的值．32．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是边AC上一点，AH⊥BD于H，连接CH．（1）求证：△DAH∽△DBA；（2）若AC=6，点D在AC上运动，试确定当点D运动到AC边的什么位置时，∠DHC=45°，并求出此时CH的长度．33．如图1，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE．第8页（共46页）（1）求证：BD=CE；（2）若点M，N分别是BD，CE的中点，如图2，连接AM，AN，MN①求证：△AMN∽△ABC；②若AC=6，AE=4，∠EAC=60°，求AN的长．34．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG=BC吗？（3）DG=5cm，试求△AEF的周长．35．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点，过P作AC的垂线FG分别与直线AB，直线AD相交于点F和点G，连结CF和CG，若=n，AB=AC=3．（1）直接写出CF的最小值，并求出此时n的值；（2）当＜n＜1时，直线FG与直线BC的交点记为E，求（BF+DG）•EC的最大值．第9页（共46页）36．如图，△ABC中，D是AC上一点，E是BD上一点，∠A=∠CBD=∠DCE．（1）求证：△ABC∽△CDE；（2）若BD=3DE，试求的值．37．已知如图，△ABC中，AB=AC，用尺规在BC边上求作一点P，使△BPA∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）．第10页（共46页）2018年10月23日136****4889的初中数学组卷参考答案与试题解析．解答题（共37小题）【解答】解：（1）设BF=x，则FC=BC﹣BF=12﹣x，∵BE=3，且BE+BF+EF=BC，∴EF=9﹣x，在Rt△BEF中，由BE2+BF2=EF2可得32+x2=（9﹣x）2，解得：x=4，则EF=9﹣x=5；（2）如图，在FC上截取FM=FE，连接OM，∵C△EBF的周长=BE+EF+BF=BC，则BE+EF+BF=BF+FM+MC，∴BE=MC，∵O为正方形中心，∴OB=OC，∠OBE=∠OCM=45°，在△OBE和△OCM中，∵，∴△OBE≌△OCM，∴∠EOB=∠MOC，OE=OM，∴∠EOB+∠BOM=∠MOC+∠BOM，即∠EOM=∠BOC=90°，在△OFE与△OFM中，∵，∴△OFE≌△OFM（SSS），∴∠EOF=∠MOF=∠EOM=45°．第11页（共46页）（3）证明：由（2）可知：∠EOF=45°，∴∠AOE+∠FOC=135°，∵∠EAO=45°，∴∠AOE+∠AEO=135°，∴∠FOC=∠AEO，∵∠EAO=∠OCF=45°，∴△AOE∽△CFO．∴===，∴AE=OC，AO=CF，∵AO=CO，∴AE=×CF=CF，∴=．3．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，CE=CD，连接EB、ED，延长BE交AD于点F．求证：DF2=EF•BF．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，且∠BCE=∠DCE，又∵CE是公共边，∴△BEC≌△DEC，∴∠BEC=∠DEC．∵CE=CD，第12页（共46页）∴∠DEC=∠EDC．∵∠BEC=∠DEC，∠BEC=∠AEF，∴∠EDC=∠AEF．∵∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD，∴∠FED=∠ECD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ECD=∠BCD=45°，∠ADB=∠ADC=45°，∴∠ECD=∠ADB．∴∠FED=∠ADB．又∵∠BFD是公共角，∴△FDE∽△FBD，∴=，即DF2=EF•BF．4．如图，BF和CE分别是钝角△ABC（∠ABC是钝角）中AC、AB边上的中线，又BF⊥CE，垂足是G，过点G作GH⊥BC，垂足为H．（1）求证：GH2=BH•CH；（2）若BC=20，并且点G到BC的距离是6，则AB的长为多少？【解答】（1）证明：∵CE⊥BF，GH⊥BC，∴∠CGB=∠CHG=∠BHG=90°，∴∠CGH+∠BGH=90°，∠BGH+∠GBH=90°，∴∠CGH=∠GBH，∴△CGH∽△GBH，∴=，第13页（共46页）