13最少拍无差系统设计

第四章数字控制器的直接设计第一节最少拍无差系统的设计第二节最少拍无波纹系统的设计第三节W变换法设计第四节纯滞后对象的控制算法——大林算法模拟化设计方法：对连续系统在时间域或S域内讨论问题，设计出模拟调节器。数学工具：微分方程、拉氏变换最后把D（s）离散化为D（z），求出差分方程u(k)。优点：可以充分利用设计者熟悉的连续系统的设计方法和经验。模拟化法选定的T必须足够小，除满足采样定理外，还要求T的变化对系统性能的影响小。当采样周期较大或对控制质量要求较高，以及用一台计算机实现多回路控制时，很难满足要求。此时，往往从被控对象的特性出发，直接根据采样系统理论设计控制器，这种方法称为直接设计法。直接设计法假定对象本身是离散化模型或者用离散化模型表示的连续对象，以采样理论为基础，以Z变换为工具，在Z域中直接设计出数字调节器D(z)。数学工具：差分方程、Z变换由于D(z)是依照稳定性、准确性和快速性等要求逐步设计出来的，所以更具一般意义。可实现复杂规律的控制，能大幅度提高系统的性能。直接设计法可分为二类三种：（1）解析法：这是在20世纪50年代发展起来的一种方法，它根据给定的闭环性能要求，通过解析计算求得数字调节器的Z传递函数。其中最典型的是最少拍系统的设计。（2）图解法：与连续系统设计相对应，也分两种：一种是频率法，也称W变换法；一种是根轨迹法。本章重点介绍有限拍设计。有限拍设计是指系统在典型输入（阶跃、等速等）作用下具有最快的响应速度，被控量能在最短的调节时间即最少的采样周期数内达到设定值。换言之，偏差能在最短时间内达到并保持为零。r(t)D(z)H(s)GC(s)+-e*(t)E(z)u*(t)U(z)c(t)R(z)C(z)G(z)Gc(s)为被控对象，)(1)(sGseZzGCTs为广义对象的脉冲传递函数。Φ(z),)()()(zRzCz)()()()()(zCzGzDzCzR)()(1)()(zGzDzGzD当已知G(z)，只要根据被控对象期望的性能指标选择好Φ(z)，就可以求得D(z)。)()(1)()()(zGzDzGzDz)()()()(1)(zGzDzGzDz)(1)()(1)(zzzGzD系统的动态指标和静态指标取决于闭环传函Φ(z)。思路：已知G(z)和Φ(z)，求D(z)。（1）求带零阶保持器的被控对象的广义脉冲传递函数G(z)。)(1)()(1)(zzzGzDssGZzc)()1(1)(1)(sGseZzGcTs（2）根据系统的性能指标要求以及实现的约束条件构造闭环z传递函数Φ(z)。)(1)()(1)(zzzGzD（3）根据计算D(z)。（4）由D(z)确定控制算法并编制程序。问题归结为：如何由性能指标及系统特点，确定Φ(z)。第一节最少拍无差系统的设计（1）最少拍无差系统最少拍系统，也称最小调整时间系统，最快响应系统或时间最优控制。是指系统在典型输入（阶跃、等速等）作用下，设计出数字控制器，使系统的调节时间最短，被控量能在最短的调节时间即最少的采样周期数内达到设定值。换言之，偏差采样值能在最短时间内达到并保持为零。其闭环z传递函数具有如下形式：nnzmzmzmz2211)(n是可能情况下的最小正整数。传递函数表明闭环系统的脉冲响应在n个采样周期后变为零，从而意味着系统在n拍之内达到稳态。对最少拍控制系统设计的具体要求：1、准确性要求对典型的参考输入信号，在达到稳态后，系统的输出值能准确跟踪输入信号，不存在静差。2、快速性要求系统准确跟踪输入信号所需的采样周期数应为最少。3、稳定性要求数字控制器D(z)必须在物理上可以实现且闭环系统必须是稳定的。一、典型输入下最少拍系统的设计方法典型的输入信号，通常指：单位阶跃输入单位速度输入单位加速度输入单位阶跃输入：r(t)=u(t)111)(zzR单位速度输入：r(t)=t2111)(zTzzR单位加速度输入：r(t)=t2/231112112)(zzzTzR典型输入Z变换的一般形式为：qzzAzR)1()()(1A(z)为不包含(1-z-1)因子的关于z-1的多项式r(t)D(z)H(s)GC(s)+-e*(t)E(z)u*(t)U(z)c(t)R(z)C(z)G(z)系统的误差传递函数Фe(z)为：Φ(z))()()(zRzCz)()(1)()(zGzDzGzD)()()(zRzEze)()()(zRzCzR)(1)()(1zzRzC)(1)()()(zzRzEze根据准确性要求，系统无稳态误差，而：)()()(zRzzEe又根据终值定理：)(1lim)(lim)(11zEzteezt)()(11lim11zRzzz0要使稳态误差为0，必须使[1-Φ(z)]，即Φe(z)包含因子(1-z-1)q。0)()(11lim)(11zRzzez典型输入Z变换的一般形式为：qzzAzR)1()()(10)(1)1()(1lim)(111zzzAzeqzF(z)是不包含零点z=1的z-1的多项式)()1()(1)(1zFzzzpe其中p≥q，q为对应于典型输入R(z)中分母(1-z-1)因子的阶次。qzzAzR)1()()(1根据快速性要求，即，使系统的稳态误差尽快为0，必然有：1)(,zFqp且)()1()(1)(1zFzzzpe根据快速性要求，对典型输入有：p=q，F(z)=1qezzz)1()(1)(1qezzz)1(1)(1)(1qqzazaza22111.单位阶跃输入)(1)(ttr111)(1qzzR，即对典型输入有：qezz)1()(11)(1)(zzze11)(zze111)(1)(1)()(1)(zzzGzzzGzD单位阶跃输入111)(1qzzR，即11)(zze1)1(11)()()(11zzzzRzEe0)()(kkzkTezE321)3()2()()0(zTezTezTee说明系统只需一拍（一个采样周期），输出就能跟随输入。此时：1)1(11)()()(11zzzzRzEe21001)(zzzE即：0)2()1(,1)0(eee111)()()(zzzRzzC将C(z)用长除法展开成z的降幂级数：111)()()(zzzRzzC11z1z1z21zz2z2z32zz3z3z321111)(zzzzzzC由Z变换的定义：321111)(zzzzzzC321)3()2()1()0()(zTczTczTcczC1)3()2()1(,0)0(TcTcTccc(t)xxxxx1T2T3T4T2.单位速度输入ttr)(211)1()(zTzzR211)1()1()(zzzqe2q2111)1()2()(1)(1)()(1)(zzzzGzzzGzD212)(1)(zzzze单位速度输入211)1()(zTzzR211)1()1()(zzzqe1)()()(TzzzRzEe2q0)()(kkzkTezE321)3()2()()0(zTezTezTee说明系统只需两拍，在采样点上偏差即为0，输出就跟随输入。1)(TzzE0)3()2(,)1(,0)0(eeTee2100)(zzTzE即：21211)1()2()()()(zzzTzzRzzC211)1()(zTzzR212)(zzz21211)1()2()()()(zzzTzzRzzC432432)(TzTzTzzCTTcTTcTcc3)3(,2)2(0)1(,0)0(1T2T3T4Tc(t)xxxxx所以对于速度输入信号：2111)1()2()(1)(1)()(1)(zzzzGzzzGzD212)(1)(zzzze21)1()(zzettr)(211)1()(zTzzR3.单位加速度输入221)(ttr31112)1()1(21)(zzzTzR311)1()1()(zzzqe32133)(1)(zzzzze221222)()()(zTzTzzRzEe3q说明系统过渡过程只需三拍。0)4()3(,2)2(,2)1(,0)0(22eeTeTee322120220)(zzTzTzE即：221222)(zTzTzE31321112)1()33)(1(21)()()(zzzzzzTzRzzC31112)1()1(21)(zzzTzR32133)(zzzz31211)1()33()(1)(1)()(1)(zzzzzGzzzGzD上述三种典型输入的设计结果如下表:)(tr)(zRq)(ze)(z)(zDst1(t)111z111z1z)1)((11zzGzTt211)1(zTz221)1(z212zz2111)1)(()2(zzGzz2T221t31112)1(2)1(zzzT331)1(z32133zzz21211)1)(()33(zzGzzz3T注：对象稳定且无圆上和圆外零点，G(z)不含纯滞后z-1。对按照某种典型输入设计的最少拍系统，当输入形式改变时，系统的性能变坏，输出响应不一定理想。最少拍系统对输入信号的变化适应性较差。在前面讨论的最少拍系统D(z)设计过程中，对被控对象G（s）未提出具体限制只有当G(z)稳定时，即在单位圆上或圆外没有零、极点，而且不含纯滞后环节z-1，所设计系统才是正确的。否则应对上述原则进行相应的限制。二、最少拍控制器的可实现性和稳定性要求（一）物理上的可实现性要求控制器的当前输出信号，只能与当前时刻的输入信号，以及以前的输入和输出信号有关，而与将来的输入信号无关。要求D(z)不能有正幂项。D(z)的一般表达式：)()()()(284110110nnnmmmazazabzbzbzEzUzD在上式中，要求n≥m这是因为如果上式分子、分母同除以zn：nnnmnmnmzazaazbzbzbzEzUzD110110)()()(如果nm，则分子出现z的正幂项。式（4-28）中a0≠0也是必要的。如果被控对象G(z)含有纯滞后z-p，所以D(z)将含有zp，故不能实现。为实现控制，Φ(z)必须含有z-p，即把纯滞后保留下来。)(1)()(1)(zzzGzD)()(2211nnpzmzmzmzz2.稳定性要求在最少拍系统中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保证控制变量收敛，方能使系统在物理上真正稳定。控制变量u对于给定输入r的z传递函数可由下式导出：)()()()()(zGzUzzRzC)()()()(zRzGzz