高中基本不等式的十一类经典题型

高中基本不等式的十一类经典题型类型一：基本不等式的直接运用类型二：分式函数利用基本不等式求最值类型三：分式与整式乘积构造的基本不等式类型四：1的妙用类型五：利用整式中和与积的关系来求最值类型六：两次运用基本不等式的题型类型七：负数的基本不等式类型八：化成单变量形式☆类型九：与函数相结合类型十：判别式法类型十一：构造高考真题10.已知512a，函数()xfxa，若实数m、n满足()()fmfn，则m、n的大小关系为▲.[解析]考查指数函数的单调性.51(0,1)2a，函数()xfxa在R上递减.由()()fmfn得：mn.类型一、基本不等式的直接运用1（1）求(4)(04)yxxx的最大值，并求取时的x的值（改)4(2xxy）（2）求)20(42xxxy的最大值，并求取最大值时x的值（3）求)20(42xxxy的最大值，并求取最大值时x的值2,141,0,0yxyx则xy的最小值是3,141,0,0yxyx则yx的最小值是4已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值5.如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，则mn的最大值为18．【解答】解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[，2]上单调递减，∴f′（x）≤0，即（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而y=（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即，由②得m≤（12﹣n），∴mn≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足①和②．∴mn的最大值为18．故答案为：18．类型二、分式函数利用基本不等式求最值1设1x，求函数1)2)(5(xxxy的最值2已知1x，求2311xxyx的最值及相应的x的值3不等式1322xx的解集为类型三、分式与整式乘积构造的基本不等式1若cba，求使11kabbcac恒成立的k的最大值.2若0,0ba且11121bba，求ba2的最小值3函数y＝loga(x＋3)－1(a0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn0，则1m＋2n的最小值为________．4.设,1,1,,baRyx若,4,22babaxx则yx12的最大值为5.求)490(4911xxx的最小值6.已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。7若且则的最小值为．8定义:min{,}xy为实数,xy中较小的数.已知22min{,}4bhaab，其中,ab均为正实数,则h的最大值是_________.9已知,0,2bba当baa||||21取得最小值时，a的值为？10.设y,x是正实数,则yxyyxx3223的最大值为________.令分母分别为m,n来做类型四、1的妙用1设正实数ba,满足,2ba则当baa21的最小值为2函数xxy2sin92cos4的最小值是3已知a0，b0，a＋b＝1，求证：11119ab.4设01x，函数411yxx的最小值为．5设1a，0b，若2ab，则121ab的最小值为．6已知,0,0yx且,082xyyx则yx的最小值为？7.已知ab＝14，a，b∈(0,1)，则11－a＋21－b的最小值为________.解析(1)11－a＋21－b＝11－a＋21－14a＝2＋(44－4a＋24a－1)＝2＋(44－4a＋24a－1)[4－4a＋4a－1]3＝2＋2＋13(44a－14－4a＋24－4a4a－1)≥4＋13×244a－14－4a·24－4a4a－1＝4＋423，当且仅当44a－14－4a＝24－4a4a－1时取等号.类型五：利用整式中和与积的关系来求最值1已知,93,0,0xyyxyx则yx3的最小值为类型六：两次运用基本不等式的题型1设,0ba则)(112baaaba的最小值是2若222110,1025abcaaccabaab求2的最小值？3若正实数zyx,,满足,3422xyzyx则当zxy取得最大值时，zyx1211的最大值为4设a，b均为正实数，求证：1a2＋1b2＋ab≥225.已知0,0,2abc，且2ab，则522acccbabc的最小值为．先解决a,b，再解决c,太难了，算了吧类型七：负数的基本不等式abbaba2,0,01已知10x，求xxylg4lg的最大值类型八：化成单变量形式☆1若正数满足,0132xyx则yx的最小值是2.已知14ab，,(0,1)ab，则1211ab的最小值为．类型九：与函数相结合1若x,y是非零实数，代数式15)(82222xyyxxyyx的值恒为正数吗？2.1,043的取值范围求若xxxx3求函数xxxxy111（x0）的最小值4若a0，b0，且a＋b＝2，则ab＋1ab的最小值为．5设001,,abab，求证：（提示：要用到41ab作为变量，用函数思想求解）（1）1118abab；（2）（错误较高的题）2211252()()abab；（3）12a12b≤22（4）(121a)(121b)≥9（5）)1)(1(bbaa≥4256已知ba,都是负数，则babbaa2的最小值为)12(2（化成单变量来做，令abx）类型十：判别式法1.若正数x,y满足,232yxxy则yx23的最小值是2.已知正数yx,满足8223yxyx，则xy的取值范围为类型十一：构造1.若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则x－2y5x2－2xy＋2y2的最大值为________.答案24二次构造解析由题意得(2x－y)(x＋y)＝1，令2x－y＝t，x＋y＝1t，则x＝13(t＋1t)，y＝13(－t＋2t)，因此x－2y5x2－2xy＋2y2＝t－1tt2＋1t2＝mm2＋2≤|m|m2＋2≤|m|22|m|＝24，其中m＝t－1t，当且仅当|m|＝2时取等号，故x－2y5x2－2xy＋2y2的最大值为24.