工程电磁场—矢量分析-共148页

工程电磁场1工程电磁场工程电磁场21矢量分析与场论基础工程电磁场31.1矢量分析公式工程电磁场41．矢量代数公式1）标量、矢量和单位矢量只有大小，没有空间方向有大小，有空间方向矢量的模模为1的矢量单位矢量e,,xyzeee,,xyz方向的单位矢量标量：矢量：工程电磁场52）矢量的加减法设xxyyzzAAAAeee，xxyyzzBBBBeee四边形法则三角形法则xxxyyyzzzABABABABeee工程电磁场63）矢量的数乘xxyyzzAAAAeee4）矢量的点积cosxxyyzzABABABABAB是A、B之间夹角cosB：B在A方向上的投影cosA：A在B方向上的投影ABBA工程电磁场7CABCACB,为实数，则ABAB22AAAAAA5）矢量的叉积sin+nyzzyxzxxzyxyyxzABABABABABABABABeeee工程电磁场8=xyzxyzxyzAAABBBeeeABne与矢量A、B都垂直单位矢量A、B、ne成右手关系：A、B间的夹角AB的模：灰色四边形面积工程电磁场9AB与BA模相等方向相反ABBA0AA（0）6）矢量的混合积ABCBCACABABCBACCAB工程电磁场102．矢量函数的导数和微分公式1）ddddddddyxzxyzAAAttttAeee2）dd+d+dxxyyzzAAAAeee3）d0dtC（C是常矢量）4）ddddddtttABAB工程电磁场115）ddddkkttAA（k是常数）6）dddddduuutttAAA7）ddddddtttBAABAB8）ddddddtttBAABAB9）设,uuutAAddddddututAA工程电磁场123．矢量函数的积分公式1）d[d][d][d]xxyyzzttAttAttAttAeee2）dtttABC（tB：tA的原函数C：任意常矢量）3）dddtttttttABAB4）ddkttkttAA（k：常数）工程电磁场135）ddttttCACA（C：常矢量）6）ddttttCACA（C：常矢量）（1．1结束）工程电磁场141.2场的基本概念和可视化工程电磁场151．场的基本概念“场“：物理量空间空间每一点对应物理量一个值标量场如温度、能量、电位等矢量场如速度、力、电场、磁场等场点三个坐标,,xyz确定一个标量场M,,uuxyz工程电磁场16一个矢量场表示为M,,xyzAAxxyyzzAAAeee,,xyzAAA：A在坐标轴上投影,,xyzeee：x、y、z方向单位矢量工程电磁场17，，：A与x、y、z方向之间的夹角方向角cos,cos,cos：方向余弦cosxAA；cosyAA；coszAAMcoscoscosxyzAAAAeee场的分类：时变场恒定场静态场工程电磁场182．源点与场点场源产生场场源所在：源点场量所在：场点源点P：,,xyzr场点P：,,xyzr工程电磁场19源点到场点距离矢量RRrrRrr，R的单位矢量Rrrerr工程电磁场203．标量场的等值面标量场u的等值面：曲面上Mu的值相等等值面方程为,,kuxyzU给定kU的一系列数值，得到一系列的等值面：工程电磁场21等值面族（一般差值相同）坐标原点点电荷q电位表示式04qrr等位面方程04qrUr解得工程电磁场2204qrU按相同递增量给定U的不同数值12,,,UU得到同心球面等值面与给定平面相交，得等值线工程电磁场23如,,uxyz在xy平面上的等值线方程为,uxyU等值线的例子工程电磁场243．矢量场的矢量线矢量场用矢量线来表示矢量线上一点切线方向与该点场矢量方向相同矢量线稀密反映矢量大小工程电磁场25根据矢量线的定义，在矢量线上任一点的切向矢量元dl与矢量场平行，即：•在直角坐标系中有xxyyzzAeAeAeAxxyyzzddededel0dAl工程电磁场26矢量线方程又可以用矢量式表示为d0lA，即dddddd0zyxxzyyxzyAAzzAAxxAAyeee得dd0dd0dd0zyxzyxyAAzzAAxxAAy工程电磁场274．场的其他可视化方法计算机图形技术彩色云图工程电磁场28箭头的长度表示矢量的大小，箭头所指的方向为矢量的方向：矢量图工程电磁场295．平行平面场工程电磁场306．轴对称场1．2结束工程电磁场31几个重要物理量及公式工程电磁场32方向导数梯度通量密度散度环量密度旋度矢量场标量场黄色：标量红色：矢量场是否有源场是否有旋场的边界唯一地确定场(亥姆霍兹定理)高斯定理斯托克斯定理两个重要公式分析标量场的工具工程电磁场2019/11/21331.3标量场的方向导数和梯度工程电磁场2019/11/2134在高等数学中什么是导数？导数定义在哪个方向？方向导数的通俗解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率（即方向导数）。方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。工程电磁场2019/11/21351．方向导数的定义要了解Mu沿任意方向的变化情况需要计算Mu沿任意方向的导数从0M出发，引一条射线l取一点M，用l表示从0M到M的距离思考：对M0，M点有何要求？工程电磁场2019/11/2136若当沿着l,0MM时，式0(M)(M)uuull的极限存在，则称此极限值为函数Mu在点0M处沿l方向的方向导数，记作0Mul。工程电磁场2019/11/21370o0o0MMMMMM(M)(M)limd=limduuulluull方向导数：标量场函数在一点0M处沿某一方向l对距离的变化率工程电磁场2019/11/2138当M0oul，沿l方向是增加的ul越大，增加得越快当oM0ul，沿l方向是减小的ul越大，减小得越快工程电磁场2019/11/2139当l指向x轴正方向时，uulx当l指向y轴正方向时，uuly当l指向z轴正方向时，uulz偏导数,,uuuxyz是ul的特例。工程电磁场2019/11/21402．方向导数的计算在直角坐标系中设标量函数(,,)uxyz在0M000(,,)xyz处可微，则函数u在点0M处沿l方向的方向导数存在。根据全微分概念dddduuuuxyzxyz定义与计算方法的差别思考：为何要求可微？工程电磁场2019/11/2141得0Muuxuyuzlxlylzl将l方向的三个方向余弦表示式代入式0000MMMMucoscoscosuuulxyz工程电磁场2019/11/2142例222uxyz0M1,1,0在处沿y22xzleee方向的方向导数。解ooMM22212uxxxyzoM12uy，oM0uz工程电磁场2019/11/2143而l的方向余弦22222cos31222cos3，1cos3则方向导数0M121242203332232ul工程电磁场2019/11/21443．梯度的定义与计算公式哪个方向u的变化率（方向导数）最大？最大变化率（方向导数）是多少？在直角坐标系中，标量函数的方向导数为coscoscosuuuulxyzcos,cos,cos为l的方向余弦梯度：回答这两个问题能否写成两个矢量的乘积？工程电磁场2019/11/2145coscoscosyzlxeeee而l方向的单位矢量又可表示为ddddddddddddyzyzxyzllxyzlllxlxeeeleeeel的方向余弦：l的单位矢量le在坐标轴的投影coscoscosyzlxeeee而l方向的单位矢量又可表示为ddddddddddddyzyzxyzllxyzlllxlxeeeleeeel的方向余弦：l的单位矢量le在坐标轴的投影工程电磁场2019/11/2146如令矢量xyzuuuxyzGeee则coscoscosuuuulxyzlGe令表示G与le之间的夹角cosuGllGe工程电磁场2019/11/2147随着l方向的改变，发生变化，方向导数值随之变化当l方向与G方向一致时，方向导数值达到最大，最大的方向导数为G。则称矢量G为标量场(,,)uxyz在点M处的梯度。标量工程电磁场2019/11/2148记为graduG在直角坐标系中，梯度的计算公式gradxyzuuuuxyzGeee梯度运算是分析标量场的工具标量场的梯度是矢量沿着梯度方向，函数(.,)uxyz增加得最快工程电磁场2019/11/2149方向导数等于梯度在该方向上的投影gradgradcosuuulle梯度的方向垂直于通过该点的等值面且指向u增大的方向工程电磁场2019/11/21504．梯度的运算规则1）grad0C（C为常数）2）gradgradCuCu3）gradgradgraduvuv4）gradgradgraduvuvvu5）21grad()(gradgrad)uvuuvvv工程电磁场2019/11/21516）grad()()gradfufuu公式6）的证明：grad()xyzffffuxyzeee=()()()xyzuuufufufuxyzeee()()gradxyuuufufuuxyzeee工程电磁场2019/11/2152例标量场22M322uxzyzzx，求过01M(0,,1)2点的梯度和梯度的模。解因为62,2,222uuuxzzxyzxyz所以grad(62)22()xyzuxzzxyzeee矢量工程电磁场2019/11/2153M01grad222(1)2xyzuGeee22xyzeee222213G1．3结束工程电磁场2019/11/21541.4矢量场的通量和散度工程电磁场2019/11/21551．矢量场的通量选取一曲面S取定其中的任一侧作为曲面的正侧闭合曲面取外侧为正侧曲面的法线方向曲面上取一点M面元dS法向矢量ne工程电磁场2019/11/2156矢量MA（）穿过面元的通量定义为d=dddnnASSAeAS矢量场MA（）穿过曲面S的通量定义为dddnnSSSASSAeAS式中：ddSnSe通量是一个标量工程电磁场2019/11/2157场矢量与曲面法线方向ddAS可能取正值，也可能取负值矢量与曲面法线方向夹角为锐角时，d0矢量与曲面法线方向夹角为钝角时，d0矢量与曲面法线方向垂直时，d0工程电磁场2019/11/2158若S是闭合曲面,法线方向朝外，有ddnSSASAS若0，表示散出闭合面的通量大于流入的通量，若0，表示流入闭合面的通量大于散出的通量，若0，表示散出和流入平衡连