2.3-空间直角坐标系典型习题

§2.3空间直角坐标系典型习题一、选择题1．以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）A．（0，0.5，0.5）B．（0.5，0，0.5）C．（0.5，0.5，0）D．（0.5，0.5，0.5）2．设点B是点A（2，-3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A．10B．10C．38D．383．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为（）A．a2B．a22C．aD．a214．一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）A．37B．47C．33D．575．点P（x，y，z）满足222)1()1()1(zyx=2，则点P在（）A．以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B．以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C．以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D．无法确定6．若A、B两点的坐标是A（3cosα，3sinα），B（2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（）A．[0，5]B．[1，5]C.（1，5）D．[1，25]7．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，﹣y，z）；②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，﹣y，﹣z）；③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）；④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．A．3B．2C．1D．08．设A（3,3,1）、B（1,0,5）、C（0,1,0），则AB中点M到C点的距离为（）A．B．C．D．9．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（）BA．B．C．D．10．已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为（）A．（3.5，4，﹣1）B．（2，3，1）C．（﹣3，1，5）D．（5，13，﹣3）11．已知点A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，那么x，y的值分别是（）A．0.5，4B．1，8C．-0.5，﹣4D．﹣1，﹣812．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|=____14．已知三角形的三个顶点为A（2，-1，4），B（3，2，-6），C（5，0，2），则BC边上的中线长为_____________15．已知x，y，z满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是____________16.已知点A（﹣3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为；AB的长为．三、解答题（共70分）17．如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．18．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在x轴上求一点P，使它与点P0（4，1，2）的距离为30；（2）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．19．已知空间直角坐标系O-xyz中点A（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点．（1）求点P的坐标满足的条件；（2）求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．20．如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|=3|NC′|，试求MN的长．21．在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，﹣3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|=|MB|？（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．参考答案：一、选择题1．以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）A．（0，0.5，0.5）B．（0.5，0，0.5）C．（0.5，0.5，0）D．（0.5，0.5，0.5）【解答】解：由题意如图，平面AA1B1B对角线交点是横坐标为AB的中点值，竖坐标为AA1的中点值，纵坐标为0，所以平面AA1B1B对角线交点的坐标为（0.5，0，0.5）．故选B．2．设点B是点A（2，-3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A．10B．10C．38D．38【解答】解：点B是A（2，-3，5）关于xoy平面对称的点，∴B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，∴B（2，-3，-5）∴AB的长度是5-（-5）=10，故选A．3．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为（）A．a2B．a22C．aD．a21【解答】解：如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′，∵A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A′（a，0，a），A′C的中点E与AB的中点F，∴F（a，2a，0），E（2a，2a，2a），|EF|=222)0()2()(aaaaaaa=22a．4．一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）A．37B．47C．33D．57【解答】解：点P（1，1，1）平面xoy的对称点的M坐标（1，1，-1），一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是：222)16()13()13(=57．故选D．5．点P（x，y，z）满足222)1()1()1(zyx=2，则点P在（）A．以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B．以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C．以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D．无法确定【解答】解：式子222)1()1()1(zyx=2的几何意义是动点P（x，y，z）到定点（1，1，-1）的距离为2的点的集合．故选C．6．若A、B两点的坐标是A（3cosα，3sinα），B（2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（）A．[0，5]B．[1，5]C.（1，5）D．[1，25]【解答】解：由题意可得|AB|=22)sin2sin3()cos2cos3(=sinsincoscos1249=)cos(1213．∵-1≤cos（α-β）≤1，∴1≤13-12cos（α-β）≤25，∴1≤)cos(1213≤5，故选B．7．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）C①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，﹣y，z）；②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，﹣y，﹣z）；③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）；④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．A．3B．2C．1D．08．设A（3,3,1）、B（1,0,5）、C（0,1,0），则AB中点M到C点的距离为（）CA．B．C．D．9．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（）BA．B．C．D．10．已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为（）DA．（3.5，4，﹣1）B．（2，3，1）C．（﹣3，1，5）D．（5，13，﹣3）11．已知点A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，那么x，y的值分别是（）CA．0.5，4B．1，8C．-0.5，﹣4D．﹣1，﹣812．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（A）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|=____214【解答】解：∵点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，所以P1（-1，2，-3），P关于坐标平面xOz的对称点为P2，所以P2（1，-2，3），∴|P1P2|=222)33()22()11(=214．故答案为：21414．已知三角形的三个顶点为A（2，-1，4），B（3，2，-6），C（5，0，2），则BC边上的中线长为_____________211【解答】解：∵B（3，2，-6），C（5，0，2），∴BC边上的中点坐标是D（4，1，-2）∴BC边上的中线长为222)42()11()24(=22，故答案为：21115．已知x，y，z满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是____________27-102．【解答】解：由题意可得P（x，y，z），在以M（3，4，0）为球心，2为半径的球面上，x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O，M之间时，|OP|最小，此时|OP|=|OM|-2=432-2=52，所以|OP|2=27-102．故答案为：27-102．16.已知点A（﹣3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为；AB的长为．（3，-1，-4）2三、解答题（共70分）17．如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．解：【解答】解：如图所示，B点的坐标为（1，1，0），因为A点关于x轴对称，得A（1，-1，0），C点与B点关于y轴对称，得C（-1，1，0），D与C关于x轴对称，的D（-1，-1，0），又P（0，0，2），E为AP的中点，F为PB的中点，由中点坐标公式可得E（0.5，-0.5，1），F（0.5，0.5，1）．18．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在x轴上求一点P，使它与点P0（4，1，2）的距离为30；（2）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．解：【解答】解：（1）设点P的坐标是（x，0，0），由题意|P0P|=30，即22221)4(x=30，∴（x-4）2=25．解得x=9或x=-1．∴点P坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）．先设点M（x，1-x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．（2）设点M（x，1-x，0）则|MN|=51)1(22x∴当x=1时，|MN|min=51．∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．19．已知空间直角坐标系O-xyz中点A（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点．（1）求点P的坐标满足的条件；（2）求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．解：【解答】解：（1）因为OA⊥α，所以OA⊥AP，由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，即3+（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=x2+y2+z2，化简得：x+y+z=3．（2）设平面α与x轴、y轴、z轴的点分别为M、N、H，则M（3，0，0）、N（0，3，0）、H（0，0，3）．所以|MN