倒易空间和布里渊区

上节回顾：1、计算一个在周期场中运动的电子的波函数时常使用单电子近似方法，其主要内容是什么?2、布洛赫定理的内容是什么？如何理解？3、简要介绍如何求解克龙尼克-潘纳模型中电子的运动状态？隐色散关系的意义是什么？4、请画出三种能带结构示意图。（扩展，简约，周期）5、什么是自由电子近似方法？在布里渊区边界处采用简并微扰，其基本思路是什么？这种方法可以告诉我们关于能带的什么信息？6.什么是倒空间?如何理解倒空间?7.布里渊区和倒空间的关系如何?倒格子与布里渊区简单晶格复式晶格在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体即为原胞，它是体积最小的重复单元。代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称基矢。1原胞特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。(1)固体物理学原胞(原胞)基矢：固体物理学原胞基矢通常用表示。321,,aaa321aaaΩ体积为：原胞内任一点的位矢表示为：1,,0321332211xxxaxaxaxr为整数321332211,,lllalalalRl位矢RrR+r(2)结晶学原胞（单胞）构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。基矢：结晶学原胞的基矢一般用表示。cba,,特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体学原胞体积的整数倍。Ωncbav体积为：(a)简立方kaajaaiaa321原胞的体积3aΩabc(3)固体学原胞与结晶学原胞（单胞）的比较kacjabiaa结晶学原胞和固体学原胞相同包含1个格点。平均每个结晶学原胞包含4个格点；体积为。(b)面心立方(Cu,Ag,Au)jiaakiaakjaa222321332141aaaaΩ固体物理学原胞的体积iajaka1a3a2a3akacjabiaa(c)体心立方kjiaakjiaakjiaa222321平均每个布拉维原胞包含2个格点iajaka1a3a2a固体物理学原胞的体积kacjabiaa332121aaaaΩ（Na，Li,K)倒格子是相对于正格子而言的，因此首先确定要确定正格子。a1,a2,a3称为正点阵。a1a2a32.倒格子（ReciprocalLattice）定义b1,b2,b3为新的基矢：213132321222aabaabaab)(321aaab1垂直于a2a3晶面b2垂直于a1a3晶面b3垂直于a1a2晶面a1a2b3a3b2b1b1,b2,b3为不共面的基矢，称为倒易点阵（reciprocallattice）或倒格子下面简单说一下b1与a2a3晶面面间距的关系：213132321222aabaabaab为平行四边形（a2,a3）的面积，则有32aa设(a2,a3)平面所在的晶面族的面间距为d1132122daab表明倒易点阵基矢的长度正好与晶面间距的倒数成正比说明：(1)倒易点阵基矢的大小是该晶面族的晶面间距的倒数的2π倍。单位为长度的倒数。(2)倒易点阵基矢的方向是该晶面的法线方向，倒易点阵的一个基矢与正点阵的一组晶面相对应。也可以说正点阵里的一族晶面与倒易点阵中的一个点相对应。a1a2b3a3b2b1Soeverycrystalstructurehastwolatticesassociatedwithit,thedirectlatticeandthereciprocallattice.Thuswhenwerotateacrystalinaholder,werotateboththedirectlatticeandthereciprocallattice.Adiffractionpatternofacrystalisamapofthereciprocallatticeofacrystal.Amicroscopeimage,ifitcouldberesolvedonafineenoughscale,isamapofthedirectlatticeofthecrystal,orthecrystalstructureinrealspace.产生衍射的斑点是产生电子衍射的晶面（在厄瓦尔德球面上）的倒易点。Vectorsinthedirectlatticehavethedimensionsof[length];vectorsinthereciprocallatticehavethedimensionsof[1/length].ThereciprocallatticeisalatticeintheFourierspaceassociatedwiththecrystal.例题：试确定简立方和BCC结构的倒易点阵解：BCC原胞的基矢一般如下选取：a1=(a/2)(-i+j+k)a2=(a/2)(i-j+k)a3=(a/2)(i+j-k)其中i、j、k为单位矢量,a为晶胞的边长原胞体积：倒格矢的基矢为：332121)(aaaaV)()()21(2122223321kjikjiaaVaab)(2)(2)(2321jiabkiabkjab同理，有：倒易点阵与正点阵的关系1、两种点阵的基矢之间的关系jiifjiifabijijijji0122、两种点阵位矢之间的关系设在正点阵中，位置矢量为：在倒易点阵中，位置矢量为：332211alalalRl332211bhbhbhKh213132321222aabaabaab则有：)(2为整数nnRKlh33'22'11'3'2'1'321ballbakkbahhKRblbkbhKlakahaRhlhl3、两种点阵的原胞之间的关系：3)2(*上式说明，如果两个矢量满足上式，其中一个是正格矢，另一个必为倒格矢。4、同一物理量在正点阵和倒易点阵中的表达式满足傅立叶变换关系。rTrl3h,h,hTKrK21KTrlhhiihleer晶体中任一处r的物理量具有晶格周期性：r332211aaaTllll为晶格平移矢量。将周期函数332211bbbKhhhh321,,bbb为相应的基矢。作傅里叶变换：1lhieTK利用晶格的平移周期性有：3h,h,hrK21Krhihe展开为傅里叶级数Fourierspace：jii=jjiji022ban为整数.显然，当倒格子基矢bj和正格子基矢ai之间满足下列关系时上式必然成立。nlh2TK于是213132321222aabaabaab321,,aaa设晶格基矢为相应的倒格子基矢定义为：332211bbbKhhhh显然倒格矢满足傅里叶变换。式中Ω是晶格原胞的体积用波矢k空间的点来描述电子态是可取的。波矢空间就是倒格矢空间。（单位）Re:【讨论】固体物理中为什么要引入倒格子（波失）空间？最主要还是为了处理问题的方便。从能量的角度去描述核外电子的运动很自然就能引入倒格子空间。其实只要在位置空间和状态空间的一个傅立叶变换，纯粹是数学行为，对物理的本质没有改变。在位置空间是看不出能量，并且绕核运动不容易做出描述。【讨论】固体物理中为什么要引入波矢空间？（正格矢空间称为坐标空间或位置空间，倒格矢空间为状态空间。）3布里渊区aa2a3a3aa20kE图E~k曲线的表达图式要知道一个能带中有多少个量子态，必须求出在一个布里渊区内电子状态的点数。考虑到k的周期性，可以把k的取值范围限制在一个区域内，这个区域是一个最小的周期性重复单元。这个最小的单元就是上面简约布里渊区。布里渊区在研究晶体内电子的运动时特别重要，因为当晶体中的电子表现出波动性时，它们也会在这些界面上发生反射。因此，如何做出布里渊区有重要意义。作出布里渊区的方法？从倒格子点阵的原点出发，作出它最近邻点的倒格子点阵矢量，并作出每个矢量的垂直平分面，可得到倒格子的WS(威格纳-塞兹）原胞，称为第一布里渊区（简约）。同样可以作出第二、第三……布里渊区。一维晶格点阵的布里渊区?1）.一维晶格点阵的布里渊区一维晶格点阵的基矢为a=ai，对应的倒格子基矢，离原点最近的倒格矢为b和-b。这些矢量的垂直平分面构成第一布里渊区，其边界为，如图所示。图一维晶格的正格子点阵、倒格子点阵和第一布里渊区二维正方结构晶格点阵的基矢为a1=ai、a2=aj。相应的倒格子为即倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为iba21jba22a22）.二维正方结构晶格点阵的布里渊区图二维正方晶格的布里渊区由图可知，每个布里渊区的体积都与倒格子原胞的体积相等。将任一布里渊区的各个部分位移适当的倒格矢就可合并成第一布里渊区。第n个布里渊区必与第n-1个布里渊区相邻。只需关注第一布里渊区的情况，便能得知其他布里渊区得情况。三维简立方结构晶格点阵的基矢a1=ai、a2=aj、a3=ak，原胞体积为a3，对应的倒格子基矢为：因此，它的倒格子点阵也是简立方结构，结构常数为。kbjbibaaa2,2,2321aπ2（请同学尝试）3）.计算题：三维简立方结构晶格点阵的布里渊区的形状如何？体积是多少？离原点最近的六个倒格点的倒格矢为：它们的中点为：过中点作垂直平分面构成第一布里渊区，这六个面围成了边长为2π/a，体积为（2π/a）3的立方体。因此，简立方点阵的第一布里渊区仍是一个简立方。321,,bbbkbjbibaaa32121;21;214）.体心立方结构与面心立方晶格点阵的简约布里渊区按照以上原则，可以得到体心立方与面心立方晶格点阵的布里渊区。图（a）体心的简约布里渊区（b）面心的简约布里渊区体心立方结构的第一布里渊区是菱形十二面体，其体积正好是倒格子原胞的大小。面心立方结构的第一布里渊区是一个截角八面体，即十四面体，有八个正六边形和六个正方形，其体积也正好是倒格子原胞的大小。小结：（1）布里渊区的边界由倒格矢的垂直平分面构成。（2）布里渊区的形状与晶体结构有关；第一布里渊区就是倒格子原胞，其体积是一个倒格点所占的体积，与倒格子原胞的体积相等。书上310页有布里渊区的部分介绍。