解一元一次方程——去括号与去分母

巴甫洛维奇·契诃夫是19世纪末俄国现实主义代表作家之一，是杰出的短篇小说家与戏剧家．他在上大学期间，就为当时的幽默杂志撰写短篇小说．契诃夫的作品对俄国文学和戏剧的发展有重大影响．他对数学也很感兴趣，在短篇小说《家庭教师》中就有下面一道趣题：新课导入某商人花540卢布买了黑布料和蓝布料共138俄尺，已知蓝布料每俄尺5卢布，黑布料每俄尺3卢布．请问商人买来黑布料、蓝布料各有几俄尺？如何解决这个问题呢？（卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单位和长度单位）解：设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布料（138－x）俄尺；因而买蓝布料花了3x卢布，买黑布料花了5（138－x）卢布，根据买两种布料共用540卢布，列得方程3x＋5（138－x）=540怎样使这个方程转化为x=a的形式？知识与能力1．掌握解一元一次方程中“去分母”、“去括号”的方法，并能解此类型的方程．2．了解一元一次方程解法的一般步骤．教学目标过程与方法1．通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，体会到列方程解应用题更为简捷明了；掌握去括号解方程的方法，会用去分母的方法解一元一次方程．2．培养分析问题，解决问题的能力．教学目标情感态度与价值观通过列方程解决实际问题，感受数学的应用价值，激发学习数学的信心．教学目标重点解含有括号、分母的一元一次方程的解法．难点1．弄清列方程解应用题的思想方法；2．会用去括号、去分母解一元一次方程．教学重难点化简下列各式：（1）3a＋2b＋（6a－4b）（2）（－3a＋2b）＋3（a－b）（3）－5a＋4b－（－3a＋b）9a－2b－b－2a＋3b想一想去括号时符号变化规律．去括号法则1．括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．2．括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识回顾解这个方程：3x＋5（138－x）=5403x＋690－5x＝5403x－5x＝540－690－2x＝－150x＝75解：去括号移项合并同类项系数化为1去括号法则由上可知，顾客买蓝布料75俄尺．所以买黑布料：138－75＝63（俄尺）．问题：王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用了1700元，种西红柿每亩用了1800元．问两蔬菜各种了多少亩？分析：设王大伯共种了x亩茄子，则他种西红柿__________亩．种茄子每亩用了1700元．那么种茄子一共用去了________元；种西红柿每亩用了1800元，则他种西红柿共用去了______________元．根据王大伯种这两种蔬菜共用去了44000元，可列方程（25－x）1700x1800（25－x）1700x＋1800（25－x）＝44000．怎样解这个方程？1700x＋1800（25－x）＝44000．x＝10－100x＝－10001700x＋45000－1800x＝440001700x－1800x＝44000－45000去括号移项合并同类项系数化为1去括号是解方程时常用的变形．解：由上可知，种茄子10亩．所以种西红柿：25－10＝15（亩）．答：种茄子10亩，种西红柿15亩．例1解方程（1）x＋5（2x－1）=3－2（－x－5）解：去括号，得x＋10x－5＝3＋2x＋10移项，得x＋10x－2x＝3＋10＋5合并同类项，得9x＝18系数化为1,得x＝2．（2）4x－3（15－x）＝6x－7（11－x）解：去括号，得4x－45＋3x＝6x－77＋7x移项，得4x＋3x－6x－7x＝－77＋45合并同类项，得－6x＝－32系数化成1，得163x讨论：解一元一次方程的步骤是什么？（1）去括号（2）移项（3）合并同类项（4）系数化成１（1）3x－5（x－3）=9－（x+4）()2146x5x6x132（2）6x＝－2（3x－5）＋10（3）－2（x＋5）=3（x－5）－6解下列方程．x＝105x311x5x＝14练一练1．某校准备将2000元奖金全部发给20名三好生，其中市级三好生每人得奖金200元，校级三好生每人得奖金50元，请问全校市级三好生、校级三好生各有多少人？解：高全校市级三好生x人，列方程200x＋50（20－x）＝2000解，得x＝5．所以校级三好生：20－x＝15（人）答：市级三好生5人；校级三好生15人．练一练2．一个笼中装有鸡、兔若干只，从上面看，共有21个头；从下面看，共有66只脚，问鸡、兔各有多少只．解：设鸡x只，列方程2x＋4（21-x）＝66解，得x＝9所以兔的个数为：21－x＝12（只）答：笼中有鸡9只，兔12只．（3）李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗;三遇店和花，喝光壶中酒，试问酒壶中原有多少酒?斗：古代的一个计量单位；1斗=10升．解：设：设酒壶中原有x斗酒．第一次遇店：第一次遇花：第二次遇店：第二次遇花：第三次遇店：第三次遇花：2x2x－1＝2x－12（2x－1）＝4x－24x－2－1＝4x－32（4x－3）＝8x－68x－6－1＝8x－7列方程，得8x－7＝0解，得x＝0.875答：酒壶中原有0.875斗酒．例2：一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水行驶需要5小时，水流的速度是2千米/时，求轮船在静水中的行驶速度．分析：已知两个码头之间的距离相等所以：顺流速度×顺流时间＝逆流速度×逆流时间去括号，得4x＋8＝5x－10移项及合并同类项，得－x＝－18系数化为1，得x＝18．答：船在静水中的行驶速度为18千米/时．解：设轮船在静水中的行驶速度为x千米/时，则顺流速度为（x＋2）千米/时，逆流速度为（x－2）千米/时．可列方程4×（x＋2）＝5×（x－2）常用的关系式顺流时的速度=静水中的速度+水流的速度逆流时的速度=静水中的速度-水流的速度（1）一艘轮船从一码头逆流而上，再顺流而下．如果轮船在静水中的速度为每小时15千米，水流速度为每小时3千米，那么这艘轮船最多开出多远然后返回才能保证在7．5小时内回到原码头？解：设这艘轮船开出x小时后多返回，才能保证在7.5小时内回到原码头．列方程（15－3）x＝（15＋3）×（7.5－x）解，得：x＝4.5即轮船开出后：（15－3）x＝54（千米）后，返回才能保证在7.5小时内回到原码头．练一练（2）甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步．甲的速度是360米/分，乙的速度是240米/分．1.两人同时同地同向跑，多长时间两人第一次相遇，此时两人一共跑了几圈？2.两人同时同地反向跑，几秒后两人第一次相遇？3.两人同时同向跑，甲先跑30秒，问还要多长时间两人第一次相遇？4.两人同时同向跑，乙先跑30秒，问还要多长时间两人第一次相遇？54011秒26秒（3）一小船由A港到B港顺流行驶航行需6h，由B港到A港逆流航行需要8h，一天,小船从早晨6时由A港出发顺流到达B港时，发现救生圈在途中掉落了水中，立即返回,1h后找到救生圈．1.若小船按水流速度由A港漂流到B港,需要多长时间?2.救生圈是在什么时候掉入水中的?48小时11时例3：（1）某工厂计划用26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时不但完成了任务，而且比原计划多生产了60件，问原计划生产多少件零件？分析：原计划生产x件零件，所以计划每小时生产零件数×26＝实际每小时生产零件数×24－60．解：设原计划每小时生产x件零件，列方程24x×（x+5）－60＝26x去括号，得24x+120-60＝26x移项及合并同类项，得2x＝60系数化成1,得x＝30所以原计划26×30＝780（件）答：原计划生产780件零件．（2）一个服装车间，共有90人，每人每小时加工1件衣服或2条裤子，问怎样安排工作才能使衣服和裤子正好配套？（一件衣服配一条裤子）分析：为了使每天生产的衣服和裤子正好配套，应使生产的衣服和裤子数量相等．解：设做衣服人数为x人，则做裤子的人数为（90－x）人．列方程x=2（90－x）去括号，得x＝180－2x移项及合并同类项，得3x＝180系数化为1,得x＝60．所以做裤子的人数为：60－x＝20（人）．答：做衣服人的人数为40人，做裤子的人为20人．（1）某车间每天能生产甲种零件100个，或者乙种零件100个．甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套．要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？解：设生产甲种零件x天，列方程：2×100x＝3×100（30－x）解，得：x＝18则生产乙种零件的天数为：30－x＝12（天）答：应安排生产甲种零件18天，乙种零件12天．练一练（2）某水利工地派40人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？解：设每天派x人挖土，列方程5x＝3（40－x）解，得x＝15所以每天运土人数为:40－x＝25（人）答：每天派15人挖土，25人运土，正好能使挖出的土及时运走．（3）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底45个一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？解：设x张白铁皮做盒身,列方程2×16x＝45×（100－x）解，得x＝60则做盒底的铁皮为：100－x＝40（张）答：用60张白铁皮做盒身，40张白铁皮做盒底．目前初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引人了未知数，建立方程，对未知数加以运算．而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学家一“代数学之父”丢番图．丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著《算术》在代数符号、数论、代数方程解法等方面均有重要贡献，其不定方程理论对后世产生了巨大影响，以至后人把整系数不定方程称为“丢番图方程”．关于丢番图的生平，我们仅能从其墓志铭中略知梗概，这篇墓志铭本身就是一个有趣的数学问题，因为被4世纪数学家麦特劳德尔收入一部数学问题集中，得以流传至今：丢番图的生平读一读这是一座石墓，里面安葬着丢番图．请你告诉我，丢番图寿数几何？他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年．再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭．五年之后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲一半的年龄．晚年丧子老人真可怜，悲痛之中渡过风烛残年．请你告诉我，丢番图寿数几何？解：设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程11115461272xxxxx怎样使这个方程转化为x=a的形式？请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？11115461272xxxxx分析：为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？各分母的最小公倍数84.去分母（方程两边同乘各分母的最小分倍数）移项系数化为1答：丢番图去世时的年龄为84岁．合并同类项11115461272xxxxx14x＋7x＋12x＋420＋42x＋336＝84x14x＋7x＋12x＋42x－84x＝－420－336－21x＝－756x＝84．解：这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有3700多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问题．问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．解：设这个数为x，可得方程：33712132xxxx为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？各分母的最小公倍数42．解：去分母，得28x＋21x＋6x＋42x＝1386．合并同类项，得97x＝1386．系数化为1，得1386x=.971386答:这个数为.9733712132xxxx去分母时须注意1.确定各分母的最小公倍数；2.不要漏乘没有分母的项；3.去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一整体．解有分数系数的一元一次方程的步骤：1．去分母；2．去括号；3．移项；4．合并同类项；5．系数化为1．主要依据：等式的性质和运算律等．以上步骤是不是