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843传热学计算推导证明05大连理工大学集中参数法温度场的分析解问题1.设有一任意形状的固体,其体积为V,表面积为A,并具有均匀的初始温度𝒕𝟎。在初始时刻,突然将它置于温度恒为𝒕∞的流体中,设𝒕𝟎𝒕∞,固体与流体间的表面传热系数h及固体的物性参数均保持常数,试求物体温度随时间的变化关系。答:∂t∂τ=𝑎∇2𝑡+Φ̇𝜌𝑐由于物体的内部热阻可以忽略,温度与空间坐标无关,所以式中温度的二阶导数项为零.dtdτ=Φ̇𝜌𝑐−Φ̇𝑉=ℎ𝐴(𝑡−𝑡∞)ρcVdtdτ=−ℎ𝐴(𝑡−𝑡∞)引入过余温度θ=𝑡−𝑡∞ρcVdθdτ=−ℎ𝐴𝜃θ(0)=𝑡0−𝑡∞=𝜃0dθ𝜃=−ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝑑𝜏∫dθ𝜃𝜃𝜃0=−∫ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏0𝑑𝜏𝜃𝜃0=𝑡−𝑡∞𝑡0−𝑡∞=exp(−ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏)令𝑙𝑐=𝑉𝐴ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏=ℎ𝑙𝑐𝜆∙𝜆𝜌𝑐∙𝜏𝑙𝑐2=ℎ𝑙𝑐𝜆∙𝑎𝜏𝑙𝑐2=𝐵𝑖∙𝐹𝑜𝜃𝜃0=exp(−𝐵𝑖∙𝐹𝑜)2.内热阻相当于外热阻很小(𝐁𝐢𝟎.𝟏)的物体被温度为𝒕𝒇的常温介质所冷却。物体的初始温度为𝒕𝟏,表面放热遵守牛顿定律,但放热系数未知,只知道𝝉𝟏时刻的温度为𝒕𝟐。试求该物体温度随时间的变化关系。843传热学计算推导证明05大连理工大学答:∂t∂τ=𝑎∇2𝑡+Φ̇𝜌𝑐由于物体的内部热阻可以忽略,温度与空间坐标无关,所以式中温度的二阶导数项为零.dtdτ=Φ̇𝜌𝑐−Φ̇𝑉=ℎ𝐴(𝑡−𝑡𝑓)ρcVdtdτ=−ℎ𝐴(𝑡−𝑡𝑓)引入过余温度θ=𝑡−𝑡𝑓ρcVdθdτ=−ℎ𝐴𝜃θ(0)=𝑡1−𝑡𝑓=𝜃0dθ𝜃=−ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝑑𝜏∫dθ𝜃𝜃𝜃0=−∫ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏0𝑑𝜏ln𝜃𝜃0=−ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏t=𝑡𝑓+(𝑡1−𝑡𝑓)∙exp(−ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏)已知𝜏1时刻物体的温度为𝑡2t2=𝑡𝑓+(𝑡1−𝑡𝑓)∙exp(−ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏1)解得h=-𝜌𝑐𝑉𝐴𝜏1ln(𝑡2−𝑡𝑓𝑡1−𝑡𝑓)∴t=𝑡𝑓+(𝑡1−𝑡𝑓)∙exp(−ln(𝑡2−𝑡𝑓𝑡1−𝑡𝑓)∙𝜏𝜏1)3.有初始温度为𝒕𝒐的金属板,密度为𝛒、比热为c、厚度为b,被温度为𝒕𝒇的空气冷却,其一侧的放热系数是另一侧𝛂的2倍。板的物性𝛒和c不随温度而变化;金属板除与空气接触的两个侧面外,其他表面均按绝热处理。任何瞬时板内温度都认为是均匀的,推导金属板温度随时间变化的公式为:𝐭−𝒕𝒇=(𝒕𝟎−𝒕𝒇)𝒆−𝟑𝜶𝝆𝒄𝒃𝝉。答:∂t∂τ=𝑎∇2𝑡+Φ̇𝜌𝑐由于物体的内部热阻可以忽略,温度与空间坐标无关,所以式中温度的二阶导843传热学计算推导证明05大连理工大学数项为零.dtdτ=Φ̇𝜌𝑐−Φ̇𝑉=𝛼𝐴(𝑡−𝑡𝑓)+2𝛼𝐴(𝑡−𝑡𝑓)ρcVdtdτ=−3𝛼𝐴(𝑡−𝑡𝑓)引入过余温度θ=𝑡−𝑡𝑓ρcVdθdτ=−3𝛼𝐴𝜃θ(0)=𝑡0−𝑡𝑓=𝜃0dθ𝜃=−3𝛼𝐴𝜌𝑐𝑉𝑑𝜏∫dθ𝜃𝜃𝜃0=−∫3𝛼𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏0𝑑𝜏ln𝜃𝜃0=−3𝛼𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏V𝐴=𝑏t−𝑡𝑓=(𝑡0−𝑡𝑓)𝑒−3𝛼𝜌𝑐𝑏𝜏4.一块单侧表面积为A、初温为𝒕𝟎的平板,一侧表面突然受到恒定热流密度𝒒𝟎的加热,另一侧表面则受温度为𝒕∞的气流冷却,表面传热系数h。试列出物体温度随时间变化的微分方程式并求解之。设内热阻可以不计,其他的几何、物性参数均已知。答:∂t∂τ=𝑎∇2𝑡+Φ̇𝜌𝑐由于物体的内部热阻可以忽略,温度与空间坐标无关,所以式中温度的二阶导数项为零.dtdτ=Φ̇𝜌𝑐−Φ̇𝑉=ℎ𝐴(𝑡−𝑡∞)−𝑞0𝐴ρcVdtdτ=𝑞0𝐴−h𝐴(𝑡−𝑡∞)引入过余温度θ=𝑡−𝑡∞ρcVdθdτ=𝑞0𝐴−h𝐴𝜃dθdτ+ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜃=𝑞0𝐴𝜌𝑐𝑉解得θ=𝑞0ℎ+𝐶0∙e−ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏843传热学计算推导证明05大连理工大学当τ=0时,θ(0)=𝑡0−𝑡∞=𝜃0解得𝐶0=𝜃0−𝑞0ℎθ=𝑞0ℎ(1−e−ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏)+𝜃0e−ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏t=𝑡∞+𝑞0ℎ(1−e−ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏)+(𝑡𝑜−𝑡∞)e−ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉𝜏集中参数法的应用问题1.一块厚20mm的钢板,加热到500℃后置于20℃的空气中冷却。设冷却过程中钢板两侧面的平均表面传热系数为𝟑𝟓𝐰/(𝒎𝟐∙𝐤),钢板的导热系数为𝟒𝟓𝐰/(𝐦∙𝐤),热扩散率为𝟏.𝟑𝟕×𝟏𝟎−𝟓𝒎𝟐/𝒔。试确定使钢板冷却到与空气相差𝟏𝟎℃时所需的时间。答:由于对称性,只要研究板厚的一半即可.Bi=ℎ(𝛿2)𝜆=35w/(𝑚2∙k)×20×10−3𝑚/245w/(m∙k)=0.00780.1可以采用集中参数法ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉=2𝑎ℎ𝜆∙𝛿=2×1.37×10−5𝑚2/𝑠×35w/(𝑚2∙k)45w/(m∙k)×20×10−3𝑚=1.06×10−3𝑠−1𝜃𝜃0=𝑡−𝑡∞𝑡0−𝑡∞=10500−20=0.0210.021=exp(−1.06×10−3τ)解得τ=3634s=1.01h∴钢板冷却到与空气相差10℃时所需1.01h2.一温度为𝟐𝟎℃的圆钢,长0.3m,直径为0.06m,热导率为𝟑𝟓𝐰/(𝐦∙𝐤),密度为𝟕𝟖𝟎𝟎𝐤𝐠/𝒎𝟑,比热容为𝟒𝟔𝟎𝐉/(𝐤𝐠∙𝐤),通过长6m,温度为1250℃的加热炉时,表面传热系数为𝟏𝟎𝟎𝐰/(𝒎𝟐∙𝐤)。如欲将圆钢加热到𝟖𝟓𝟎℃,试求圆钢通过加热炉的速度。答:Bi=ℎ(𝑉𝐴⁄)𝜆=ℎ[(𝜋𝑑2𝑙4⁄)(𝜋𝑑𝑙+2𝜋𝑑24⁄)⁄]𝜆=ℎ𝜆∙𝑑𝑙4⁄𝑙+𝑑2⁄=100w/(𝑚2∙k)35w/(m∙k)∙0.06𝑚×0.3𝑚/40.3𝑚+0.06𝑚/2=0.0390.05可以采用集中参数法ℎ𝐴𝜌𝑐𝑉=100w/(𝑚2∙k)7800kg/𝑚3×460J/(kg∙k)∙0.3𝑚+0.06𝑚/20.06𝑚×0.3𝑚/4=2.04×10−3𝑠−1843传热学计算推导证明05大连理工大学𝜃𝜃0=𝑡−𝑡∞𝑡0−𝑡∞=850℃−1250℃20℃−1250℃=0.3250.325=exp(−2.04×10−3τ)解得τ=551sV=𝑠𝜏=6𝑚551𝑠=0.011𝑚/𝑠∴圆钢通过加热炉的速度为0.011𝑚/𝑠
本文标题:大连理工大学843传热学考研历年真题汇总分类——计算推导证明05
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