微分中值定理及其应用习题课(整理)

1微分中值定理及其应用习题课一基本定理1）．罗尔中值定理若函数f满足如下条件：（ⅰ）f在闭区间ba,上连续；（ⅱ）f在开区间,ab内可导；（ⅲ）)()(bfaf,则在),(ba内至少存在一点,使得0)(f注罗尔中值定理主要用于说明0fx有根，关键是要找两点使这两点函数值相等．注介值定理主要用于说明0fx有根，关键是要找两点使这两点函数值异号．（1）证0fx有根100,fxfxgxgxgxfxgxgx法用介值定理（若此时易找两点使函数值异号）.法2将转化为对用罗尔定理若很容易求出，使，且对很容易找两点使函数值相等.（2）证0fx有根1.法费马定理（易找极值点或内部最值点）,法2罗尔定理易找两点使函数值相等（3）证根唯一的方法1法单调性,法2反证法+罗尔定理.（4）证0nfx有根，经常对1nfx用罗尔定理．（5）证至少存在一点，使含的代数式,,,,,,0nGabfafbfff成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗尔定理．2）．拉格朗日中值定理若函数f满足如下条件：（ⅰ）f在闭区间],[ba上连续；（ⅱ）f在开区间,ab内可导，则在（ba,）内至少存在一点，使得()()()fbfafba．2注看到函数增量，或隐含增量（含条件0fa），经常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界，经常要考虑拉格朗日中值定理．3）．柯西中值定理设函数f和g满足（i）在],[ba上都连续；(ii)在),(ba上都可导；(iii))()(xgxf和不同时为零；(iv))()(bgag则存在),(ba，使得()()()()()()ffbfaggbga．注看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，经常要用柯西中值定理．4）．泰勒中值定理若函数f在点0x存在直至n阶导数，则有()200000000()()()()'()()()()()2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxoxxn．若函数f在],[ba上存在直至n阶的连续导函数，在),(ba内存在)1(n阶导函数，则对任意给定的],[,0baxx，至少存在一点),(ba，使得200000)(!2)())((')()(xxxfxxxfxfxf10)1(00)()()!1()()(!)(nnnnxxnfxxnxf注看到有二阶以上导数，经常要考虑泰勒中值定理．注对中值定理为了帮助读者记忆，给出以下口诀一阶有界用拉格，二阶以上想泰勒；中值等式罗拉柯，辅助函数逃不脱；函数增量想拉柯，易积结论用阿罗；多个中值多次用，把握特征心自得．二疑难解答1．极值与最值有什么区别与联系？答1）极值是一个局部概念,因为0()fx是函数()fx的极值,是与0x的某邻域0Ux上的函数值()fx比较而言的；而最值是对整个区间而言的,是一个整体概念．32）闭区间,ab上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值大于最小值（常函数除外）,但可能无极值（因为极值点0x必在区间的内部，不能是区间的端点，而最值有可能在端点取）．即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值．因此若fa(是函数的最值,则fa不可能是极值;若0()fx（0(,)xab）是函数的最值,则一定是极值．即（最值不一定是极值，反之,极值也不一定是最值,极值一般可能很多个,但若极值只有一个,即为最值）．3）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点，且最大值点是极大值点，最小值点是极小值点．2．极值点与稳定点的关系，极值点可能是哪些点？答：1）由费马定理可知,可导的极值点是稳定点．2）稳定点未必是极值点．例如3()fxx，0x为它的稳定点（因为(0)0f），但由3()fxx的图像和极值点的定义易知0x不是3()fxx的极值点．3）导数不存在的点也可能是函数的极值点．例如由()fxx的图像和极值的定义易知()fxx在0x取得极小值，但在0x不可导，即极值点未必是稳定点．极值点有可能是稳定点和不可导的点．3．导函数的介值定理有什么作用？答：据此定理可以了解什么样的函数可能成为其它函数的导函数，那么不具有介值性的函数一定不能做为其它函数的导函数，如具有第一类间断点的函数．4.罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理是否成立？如果不成立，能否说这三个条件是罗尔定理的必要条件？答罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理就可能不成立．例如函数,01,()0,1,xxfxx在[0,1]上不满足罗尔中值定理的条件(1)，因为()fx在点1x处不连续．由于()1,(0,1)fxx，所以在开区间(0,1)内找不到使得等式()0f成立的点，如图，无水平切线(图1)；函数(),[1,1]gxxx，()gx在[1,1]上不满足罗尔中值定理的条件(2)，因为()gx在点0x处不可导．由于1,01,()1,10,xgxx所以在开区间(1,1)内找不到使得等式()0g成立的点，如图，4无水平切线(图2)．函数(),[0,1]hxxx．()hx在[0,1]上不满足罗尔中值定理的条件(3)，因为()hx在区间端点的函数值不相等，即(0)(1)hh．由于()1,(0,1)hxx，所以在开区间(0,1)内找不到使得等式()0h成立的点，如图，无水平切线(图3)．尽管如此，但是不能说这三个条件是罗尔定理的必要条件．例如，函数0,[0,1)(),[1,2]xfxxx在0,2不连续，在0,2不可导，02ff，但0,0,1()1,1,2xfxx，0,1上点都满足()0fx．5.为什么不将罗尔条件(i)(ii)合并为()fx在ba,上可导？答可以，但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数．例如函数()(3),fxxx[0,3]x，xxxf2)1(3)(，显然0x时，函数不可导（xxxf)3()(是初等函数，xxxf2)1(3)(在0x处没有定义，则原函数在0x不可导），即不符合加强条件；但它满足定理的三个条件，有水平切线(图)6.罗尔定理结论中的值唯一吗？答不一定唯一,可能有一个,几个，甚至无限多个．例如.0,0;0,1sin)(24xxxxxf在1,1上满足罗尔定理的三个条件．显然,yy=f(x)03x5.0,00,1cos1sin21sin4)(223xxxxxxxxf在(-1,1)内存在无限多个),,2,1(21nncn使得0)(ncf．7．拉格朗日公式有哪些等价表示形式？答①()()()(),fbfafbaab；注001aabababa，令aba，则有01，()aba，于是有②()()(())(),01fbfafababa；令hba，则有③.10,)()()(hhafafhaf注值得注意的是，拉格朗日公式无论对于ba，还是ba都成立，而则是介于a与b之间的某一定数8．试问应用导数极限定理时，应当注意哪些问题？答：（1）在应用导数极限定理时，如果只注意)(lim0xfxx存在的条件，而忽视了f在点0x的某邻域)(0xU内连续，则会导致错误的结论，例如,0()1,0xxfxx)(xf在)0(0u中可导，且1)(xf，于是有0lim()xfx，若认为)0(f存在，且1)0(f，这就导致错误结论，事实上，因为)(xf在点0处不连续，当然不可导．（2）下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似．1）设f在点0x的右邻域0()Ux内连续，在0()Ux内可导，且极限00lim()0xxfxfx存在，则f在点0x右可导，且000lim()0xxfxfxfx．2）设f在点0x的左邻域0()Ux内连续，在0()Ux内可导，且极限00lim()0xxfxfx存在，则f在点0x左可导，且000lim()0xxfxfxfx．（3）若函数f在点0x的某邻域)(0xU内连续，在)(0xU内可导，极限)(lim0xfxx不存在，一般不能6得到0fx不存在的结论．例设函数21sin,0,0,0.xxfxxx则fx在0U中连续，且在0U内可导，112sincos,0.fxxxxx显然0limxfx不存在，但00f．此例说明：导数极限定理中的0limxxfx存在是充分条件不是必要条件．9.若函数f在区间I上可导，则在区间I上的每一点，)(xf有第一类间断点吗？答若函数f在区间I上可导，则在区间I上的每一点，要么是)(xf的连续点,要么是)(xf的第二类间断点,即导函数不可能有第一类间断点．0xI，由f在区间I上可导，则f在点0x处的左右导数存在，并且相等，即000fxfxfx，由此（1）若)(xf在点0x处的左右极限存在，则根据导数极限定理，)(xf在点0x处的左右极限相等，即00000fxfxfx，从而)(xf在点0x处连续；（2）若)(xf在点0x处的左右极限至少有一个不存在，则0x是)(xf的第二类间断点．10．1）fx在,ab上有定义,在,ab内严格递增（减）,那么fx在,ab上是否一定严格递增（减）呢？2）若f在,ab上（严格）递增（减），且在点a右连续，则f在[ba,）上亦为（严格）递增（减），对右端点b可类似讨论．答：1）不一定．例函数,011,0xxfxx在0,1有定义，在0,1内严格递增，但在0,1上不是严格递增的．2）只需证明xa，fxfa，这时存在12,,xxab，满足12axxx，由f在,ab中的（严格）递增性有12fxfxfx，令1xa，由f在点a的右连续性，112limxafafxfxfx，于是fafx．注（1）证f在,ab上严格递增的方法是证0,(,)fxxab，或0fx，(,)xab，7而0fx的点只有有限个．（2）证f在,ab上严格递增，只要证f在,ab上连续，在,ab上严格递增．11．函数在区间I上可微，若0xf与f在I上严格递增有什么关系？答函数在区间I上可微，若0xff在I上严格递增．反例：3fxx在R上严格递增，但23xxf，00f，导数可为0．注若函数f在,ab内可导，则f在,ab内严格递增（递减）的充要条件是：（ⅰ）对一切),(bax，有0xf（0xf）；（ⅱ）在,ab内的任何子区间上0xf．12．下面是利用拉格朗日中值定理推导柯西中值定理的方法，正确吗？由函数f和g在],[ba上连续，在),(ba上可导，满足拉格朗日中值定理的条件，对f和g分别用拉格朗日中值定理得()()()()()()fbaffbfagbgagbag．答：不正确，错在对f和g分别用拉格朗日中值定理时得到的中值点不一定相同，即应该是1122()()()()()()fbaffbfagbgagbag．而柯西中值定理的()()()()()()ffbfaggb