高中数学直线和圆知识点总结

1直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tank，[0,)（1）[0,)2时，0k；（2）2时，k不存在；（3）(,)2时，0k（4）当倾斜角从0增加到90时，斜率从0增加到；当倾斜角从90增加到180时，斜率从增加到02．直线方程（1）点斜式：)(00xxkyy（2）斜截式：ykxb（3）两点式：121121xxxxyyyy（4）截距式：1xyab（5）一般式：0CByAx3．距离公式（1）点111(,)Pxy，222(,)Pxy之间的距离：22122121()()PPxxyy（2）点00(,)Pxy到直线0AxByC的距离：0022||AxByCdAB（3）平行线间的距离：10AxByC与20AxByC的距离：1222||CCdAB4．位置关系（1）截距式：ykxb形式重合：1212kkbb相交：12kk平行：1212kkbb垂直：121kk（2）一般式：0AxByC形式重合：1221ABAB且1221ACAC且1212BCCB平行：1221ABAB且1221ACAC且1212BCCB1垂直：12120AABB相交：1221ABAB5．直线系1112220AxByCAxByC＋（）表示过两直线1111:0lAxByC和2222:0lAxByC交点的所有直线方程（不含2l）二．圆1．圆的方程（1）标准形式：222()()xaybR（0R）（2）一般式：220xyDxEyF（2240DEF）（3）参数方程：00cossinxxryyr（是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)Axy,22(,)Bxy为直径的圆的方程是：()()()()0ABABxxxxyyyy2．位置关系（1）点00(,)Pxy和圆222()()xaybR的位置关系：当22200()()xaybR时，点00(,)Pxy在圆222()()xaybR内部当22200()()xaybR时，点00(,)Pxy在圆222()()xaybR上当22200()()xaybR时，点00(,)Pxy在圆222()()xaybR外（2）直线0AxByC和圆222()()xaybR的位置关系：判断圆心(,)Oab到直线0AxByC的距离22||AaBbCdAB与半径R的大小关系当dR时，直线和圆相交（有两个交点）；当dR时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当dR时，直线和圆相离（无交点）；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．13．圆和圆的位置关系判断圆心距12dOO与两圆半径之和12RR，半径之差12RR（12RR）的大小关系当12dRR时，两圆相离，有4条公切线；当12dRR时，两圆外切，有3条公切线；当1212RRdRR时，两圆相交，有2条公切线；当12dRR时，两圆内切，有1条公切线；当120dRR时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：222lRd例1若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k＜3.答案：(－3，3)例2已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.答案：x－2y＋4＝0例3设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝4－3＝1，即|1－2m－1|1＋m2＝1，解得m＝±33.答案：±33例4若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为24－ca2＋b22，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为23.答案：231例5已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．(1)若|AB|＝423，求|MQ|及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点．解：(1)设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝223，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝12－89＝13，又∵|MQ|＝|MA|2|MP|，∴|MQ|＝3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由x2＋22＝3，得x＝±5，则Q点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ的方程为2x＋5y－25＝0或2x－5y＋25＝0.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点0，32.例6过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，则|2k－3|k2＋1＝22，化简得7k2－24k＋17＝0，得k＝1或k＝177.答案：1或177例7圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d＝|1－3|1＋3＝1.答案：1例8圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为____________________．解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)∴|2|1＋1＝a，∴a＝2，∴x2＋y2＝2.答案：x2＋y2＝2例9已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，则26＋5D＋F＝0，10＋D＋F＝0，解得D＝－4，F＝－6.圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0.[答案](1)C(2)x2＋y2－4x－6＝01例10(1)与曲线C：x2＋y2＋2x＋2y＝0相内切，同时又与直线l：y＝2－x相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C(－1，－1)到直线y＝2－x即x＋y－2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b＝2x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x－y＝b与圆相切时，b取得最值．由|2×2＋1－b|5＝1.解得b＝5±5，所以2x－y的最大值为5＋5，最小值为5－5.答案：(1)322(2)5＋55－5例11已知x，y满足x2＋y2＝1，则y－2x－1的最小值为________．解析：y－2x－1表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以y－2x－1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0.由|2－k|k2＋1＝1得k＝34，结合图形可知，y－2x－1≥34，故最小值为34.答案：34例12已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝32，则AB边上的高的最小值为32－1.故△ABC面积的最小值是12×22×32－1＝3－2.答案：3－2例13平面直角坐标系xoy中，直线10xy截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，０）和（n，０），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：⑴因为O点到直线10xy的距离为12，所以圆O的半径为2216()()222，故圆O的方程为222xy．⑵设直线l的方程为1(0,0)xyabab，即0bxayab，1由直线l与圆O相切，得222abab，即221112ab，2222222112()()8DEababab≥，当且仅当2ab时取等号，此时直线l的方程为20xy．⑶设11(,)Mxy，22(,)Pxy，则11(,)Nxy，22112xy，22222xy，直线MP与x轴交点122121(,0)xyxyyy，122121xyxymyy，直线NP与x轴交点122121(,0)xyxyyy，122121xyxynyy，222222221221122112211221222221212121(2)(2)2xyxyxyxyxyxyyyyymnyyyyyyyy，故mn为定值2．例14圆x2+y2=8内一点P（－1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点.（1）当=43时,求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.解:（1）当=43时，kAB=－1，直线AB的方程为y－2=－（x+1），即x＋y－1=0.故圆心（0，0）到AB的距离d=2100=22，从而弦长|AB|=2218=30.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=－2，y1+y2=4.由,8,822222121yxyx两式相减得（x1+x2）（x1－x2）+（y1+y2）（y1－y2）=0，即－2（x1－x2）+4（y1－y2）=0，∴kAB=212121xxyy.∴直线l的方程为y－2=21（x＋1），即x－2y＋5=0.例15已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x－y+10=0上.(1)若动圆C过点(－5,0),求圆C的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.1解:(1)依题意,可设动圆C的方程为(x－a)2+(y－b)2=25,其中圆心(a,b)满足a－b+10=0.又∵动圆过点(－5,0),∴(－5－a)2+(0－b)2=25.解方程组25)0()5(01022baba,可得010ba或55ba,故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y－5)2=25.(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=1110=52.当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2相外切的圆；当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切；当r满足r+5=d,即r=52－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.题目1．自点(1,4)A作圆22(2)(3)1xy的切线l，则