数列中的奇偶项问题

数列中的奇偶项问题例1、（12宁波一模）已知数列na满足：111,1,2nnnanaaan奇，，偶为数为数*nN，设21nnba.（1）求23,,bb并证明：122;nnbb（2）①证明：数列2nb等比数列；②若22122,,9kkkaaa成等比数列，求正整数k的值.解：（1）2321=22(1)4,baaa3543=22(1)10,baaa121221=22(1)2(1)22,nnnnnnbaaabb（2）①因为111122(2)1,20,2,22nnnnbbbabbb所以数列2nb是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列2nb可得，1121322,322nnnnba即，则12211321nnnaa，因为22122,,9kkkaaa成等比数列，所以21(322)(321)(328)kkk，令2=kt，得23(32)(1)(38)2ttt，解得243t或，得2k.例2、（14宁波二模）设等差数列}na的前n项和为nS，且248,40aS．数列nb的前n项和为nT，且230nnTb，nN．（I）求数列na,nb的通项公式；（II）设为偶数为奇数nbnacnnn，求数列nc的前n项和nP．解：（Ⅰ）由题意，1184640adad，得14,44naand．…………3分230nnTb，113nb当时，，112230nnnb当时，T，两式相减，得12,(2)nnbbn数列nb为等比数列，132nnb．…………7分（Ⅱ）1432nnnncn为奇数为偶数．当n为偶数时，13124()()nnnPaaabbb=212(444)6(14)222214nnnnn．……………10分当n为奇数时，（法一）1n为偶数，1nnnPPc(1)1222(1)24221nnnnnn……………13分点评:根据结论1退而求之.（法二）132241()()nnnnPaaaabbb1221(44)6(14)2221214nnnnnn．……………13分12222,221nnnnnPnnn为偶数，为奇数……………14分点评：分清项数，根据奇偶进行分组求和。点评:1、数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列分成两个新的数列进行考查，易搞错的是新数列与原数列的项数、公差、公比的判定；2、数列问题主要涉及通项与求和、等差与等比、特殊数列与非特殊数列、新数列与旧数列的四大问题的考查。3、常用知识点：(1)等差数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等差数列。（2）项数为奇数21n的等差数列有：1snsn奇偶；nssaa奇偶中；21(21)nnsna=a中项数（3）项数为偶数2n的等差数列有：1nnsasa奇偶；ssnd偶奇；21()nnnsnaa(4)等比数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等比数列，公比都是2q。练习：1.已知数列{an}满足an＋1＝an2an为偶数，an－2nan为奇数.若a3＝1，则a1的所有可能取值为________．解析：当a2为奇数时，a3＝a2－4＝1，a2＝5；当a2为偶数时，a3＝12a2＝1，a2＝2；当a1为奇数时，a2＝a1－2＝5，a1＝7或a2＝a1－2＝2，a1＝4(舍去)；当a1为偶数时，a2＝12a1＝5，a1＝10或a2＝12a1＝2，a1＝4.综上，a1的可能取值为4,7,10.答案：4,7,102.一个数列{an}，当n是奇数时，an＝5n＋1；当n为偶数时，an＝22n，则这个数列的前2m项的和是________．解析：当n为奇数时，{an}是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n为偶数时，{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S2m＝S奇＋S偶＝ma1＋mm－12×10＋a21－2m1－2＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1)＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2＝2m＋1＋5m2＋m－2.参考题目：1．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()A．10B．20C．30D．40解析：选A设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.2、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（C）（A）4（B）6（C）8（D）103、已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝________.解析：∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，∴an＋1·an＋2＝2n＋1，∴an＋2＝2an.又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，∴a2n＝2n，a2n－1＝2n－1(n∈N*)，∴b10＝a10＋a11＝64.4、已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则a7a3＝()A．2B．4C．5D.52解析：选B依题意得an＋1an＋2anan＋1＝2n＋12n＝2，即an＋2an＝2，故数列a1，a3，a5，a7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a7a3＝4.5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，设Sn是数列{an}的前n项和，则S2014＝()A．22014－1B．3×21007－3C．3×21007－1D．3×21007－2解析：选B由an＋2an＋1an＋1an＝an＋2an＝2n＋12n＝2，且a2＝2，得数列{an}的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S2014＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2013)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2014)＝1－210071－2＋21－210071－2＝3×21007－3.对比：an＋1/an＝2n则用累乘法，6.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.解析：由an＋2－an＝1＋(－1)n，知a2k＋2－a2k＝2，a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋100＋2×502＝2600.点评：分奇偶项求和，实质分组法求和，注意公差和公比。对比练习：(2014·衢州模拟)对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析：∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝2－2n＋11－2＝2n＋1－2.7、(2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明Sn＋1Sn≤136(n∈N*)．[解题指导](1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．[解](1)设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝a4a3＝－12.又a1＝32，所以等比数列{an}的通项公式为an＝32×－12n－1＝(－1)n－1·32n.(2)证明：Sn＝1－－12n，Sn＋1Sn＝1－－12n＋11－－12n＝2＋12n2n＋1，n为奇数，2＋12n2n－1，n为偶数.当n为奇数时，Sn＋1Sn随n的增大而减小，所以Sn＋1Sn≤S1＋1S1＝136.当n为偶数时，Sn＋1Sn随n的增大而减小，所以Sn＋1Sn≤S2＋1S2＝2512.故对于n∈N*，有Sn＋1Sn≤136.变式：(2013·湖北高考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.①求数列{an}的通项公式；②是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．解析：①设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.由题意得S2－S4＝S3－S2，a2＋a3＋a4＝－18，即－a1q2－a1q3＝a1q2，a1q1＋q＋q2＝－18，解得a1＝3，q＝－2.故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1.②由①有Sn＝3×[1－－2n]1－－2＝1－(－2)n.若存在n，使得Sn≥2013，则1－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－2012.当n为偶数时，(－2)n0，上式不成立；当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2012，即2n≥2012，则n≥11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．点评：当数列涉及底数是负数时，要对指数n分奇偶讨论。