Lanczos方法

LANCZOS方法结构动力学问题分析的有限元方法三二一一数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析。结构无阻尼自由振动方程..{}{}{0}MyKy将简谐运动sin()yt代入上式可得MK0)(2MK或写成（1）（2）（3）（4）其中，λ=ω²；K，M分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵。特征系统的一些基本特性。（1）如果K和M都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一定是实数，而特征向量也可以是实向量。如果M正定，并且K为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。（2）特征向量（或模态向量）关于质量矩阵M和刚度矩阵K正交，即：)(0)(}{}{TjijimiijiM)(0)(}{}{TjijikiijiK在式中将特征向量归一化，即：MK（5）（6）上式称为归一化特征向量。)(0)(1}{}{TjijijiM)(0)(}{}{TjijiijiK}{1}{iiiim则式（5），（6）有（7）（8）（9）Lanczos法Lanczos方法利用三项递推关系产生一组正交规范的特征向量，同时将原矩阵约化成三对角阵，将问题转化为三对角阵的特征问题的求解。以20世纪匈牙利数学家CorneliusLanczos命名。Lanczos方法实际上是Arnoldi算法对于对称矩阵的特殊形式，可应用于对称矩阵线性方程组求解的Krylov子空间方法以及对称矩阵的特征值问题。Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。Lanczos方法用于标准特征值问题称为标准Lanczos法，用于广义特征值问题称为广义Lanczos法。求解n阶实对称矩阵A特征值问题的Lanczos算法基本思想如下:取定一个任意单位向量q1,通过Lanczos过程构造一组正交化序列q1,q2,...,qn。Q=[q1,q2,...,qn],则QTAQ=T成为一个对称三对角矩阵。在这中产生了一系列对称三对角矩阵T,它们的低阶特征值越来越接近原矩阵A的低阶特征值,这样大规模矩阵A的特征值问题就转化为中小规模对称三对角矩阵T的特征值问题。（1）标准Lanczos法设标准特征值问题{}{}Kxx其中：K为n×n阶矩阵。首先,给出K一对称或广义对称矩阵的定义:设矩阵K对称正定,则成为一个内积,如果对任何u,,矩阵A满足（10）(,)TKKxyxynVk则称A是K一对称或广义对称矩阵,类似的还有K一范数。读者不难验证,矩阵都是M一对称矩阵。(,)(,)KKAuVuAV11MKKMM和（）(,)BBxxx111/}){}{}{(}{kkkkkkkKUUUU其中，01}{}{kTkkKUU211}{}{}{kkkkkkKUUU（11）（12）（13）（14）任何初始向量U，设向量U=0,用三项递推公式进行迭代:1KU0这里，k=1,2,…,m-1≤n；‖‖2为2范数。于是得1222333411..................mmmmmmT求解此矩阵的特征值，就是K的m个最高阶特征值。（15）（2）广义逆Lanczos法广义逆Lanczos法的运算过程，基本上与标准方法相同。设广义特征值问题}{}{xxMK其中K为n×n阶实对称正定阵，M为对称阵。选取适当的初始向量｛U1｝，且｛U1｝TM｛U1｝=1，计算令β1=1，作{}{}TkkkUMU{}{}{}kkkkUUw}{}{1kTkkMww（1）（2）（3）（16）（17）（18）（19）11/}{}{kkkwU1111{}{}{}kkkkUKMUU这里，k=1,2,…,m。当k＝m时，作完第（1）步，即求出αm就停止迭代，于是得到全部的αk和βk就构成式（6-68）的m阶三对角矩阵Tm。}{1}{mmmXXT式（61）的全部特征值λi(k=1,2,…,m)就是广义特征值式（68）的最小特征值组的近似值。当m＜n时，就是截断广义逆Lanczos法。（4）（5）求解此矩阵对应的标准特征值问题：（21）（22）（20）