一元一次方程;方案问题教案

一元一次方程的应用：方案问题教案适用学科初中数学适用年级初中一年级适用区域人教版课时时长（分钟）60知识点1、一元一次方程的应用教学目标1、能够熟练地解一元一次方程；能够准确找出实际问题中的等量关系，建立方程模型；能够在解决实际问题的过程中，判断一个方程的解的合理性。2、能够体会方程是刻画现实世界的有效的教学模型，并在发现问题和解决问题的过程中寻求一种探究建立模型的方法。3、能够从日常生活中发现和提出与方程相关的问题，并尝试从不同的角度寻求解决问题的方法。教学重点方程的解法以及对列方程解题的掌握教学难点有效地分析实际问题中的等量关系，并准确建立方程模型。教学过程一、课堂导入从前有一位老人，勤劳一生，只有一块平行四边形形状的土地，老人临终对两个儿子说：“这块土地你们兄弟两平分，但水井共用”兄弟俩怎样才能平分按照老人的要求平分土地呢？老师边说边在黑板上画出图形。二、复习预习在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，如竹篱笆格子、推拉门、汽车防护链、书本等，都是平行四边形，平行四边形有哪些性质呢？做一做：将两张全等的三角形纸片,设法找到某一边的中点,记作点O,将上层的三角形纸片绕点O旋转180度,下层的三角形纸片保持不动,此时:(1)两张纸片拼成了怎样的图形?(2)这个图形中有哪些相等的角?有没有互相平行的线段?(3)用简洁的语言刻画这个图形的特征,并与同伴交流.通过观察，让学生勾勒出发现的几何图形：平行四边形，然后举出一些生活中的实例。从而引出平行四边形在日常生活中应用广泛，是一种美观实用的图形,因此我们有必要系统学习平行四边形.三、知识讲解考点1列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．考点2四、例题精析【例题1】【题干】某博物馆门票价为20元一张，购买方式有两种：方式1：团队中每位游客按八折购买；方式2：团队除五张按标价购买外，其余按七折购买；选择哪种购买方式更合算？【答案】解：设团队人数为x人，按照方式1购买门票需费用共y1元，按照方式2购买门票需费用共y2元，依题意得y1=20×0.8x=16x，y2=20×5+20×0.7（x﹣5）=14x+30．设y1＞y2即16x＞14x+30，解得x＞15；设y1=y2即16x=14x+30，解得x=15；设y1＜y2即16x＜14x+30，解得x＜15；答：当团队人数多于15人时，选择方式2购买门票合算；当团队人数为15人时，两方案费用一样；当团队人数少于15人时，选择方式1购买门票合算．【解析】设团队人数为x人，按照方式1购买门票需费用共y1元，按照方式2购买门票需费用共y2元，可列出函数式，且假设一种方案优惠或者消费一样，可列成不等式组求解．并且讨论可得结果．【例题2】【题干】重百超市开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案有如下两种：方案一AB标价（单位：元）90100每件商品返利按标价的30%按标价的15%例：买一件A商品，只需付100（1﹣30%）元方案二若所购商品达到或超过101件（不同商品可累计），则按标价的20%返利（同一种商品不可同时参与两种活动）（1）某单位购买A商品30件，B商品90件，选用何种活动划算？能便宜多少钱？（2）若某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多一件，请问该单位该如何选择才能获得最大优惠？请说明理由．【答案】解：（1）方案一付款：30×90×（1﹣30%）+90×100×（1﹣15%）=9540元；方案二付款：（30×90+90×100）×（1﹣20%）=9360元，∵9540＞9360，9540﹣9360=180元，∴选用方案二更划算，能便宜180元；（2）依题意得：x+2x+1=100，解得：x=33，当总件数不足100，即x＜33时，只能选择方案一的优惠方式；当总件数达到或超过100，即x≥33时，方案一需付款：90（1﹣30%）x+100（1﹣15%）（2x+1）=233x+85，方案二需付款：[90x+100（2x+1）]（1﹣20%）=232x+80，∵（233x+85）﹣（232x+80）=x+5＞0．∴选方案二优惠更大．方案三：x≥50时，A商品采用方案一优惠；B商品采用方案二优惠！此时需付款223x+80（元），优惠最大．【解析】1）方案一根据表格数据知道买一件A商品需付款90（1﹣30%），一件B商品需付款100（1﹣15%），由此即可求出买A商品30件，B商品90件所需要的付款，由于买A商品30件，B商品90件，已经超过120件，所以按方案二付款应该返利20%，由此也可求出付款数；（2）若购买总数没有超过100时，很明显应该按方案一购买；若购买总数超过100时，利用两种购买方式进行比较可以得到结论．【例题3】【题干】】某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒10元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠，该班需买球拍6副，乒乓球若干盒（不小于6盒）（1）当购买乒乓球多少盒时两种优惠办法付款一样？（2）当购买20盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买为什么？（3）当购买40盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买为什么？【答案】解：（1）设购买x盒乒乓球时，两家优惠办法付款一样．由题意得：40×6+10（x﹣6）=（40×6+10x）×90%，解得：x=36，答：购买36盒乒乓球时两种优惠办法付款一样；（2）当购买20盒乒乓球时，甲店需付款：40×6+10（20﹣6）=380（元），乙店需付款：（40×6+10×20）×0.9=396（元），∴380＜396，答：去甲店合算；（3）当购买40盒乒乓球时，甲店需付款：40×6+10（40﹣6）=580（元），乙店需付款：（40×6+10×40）×0.9=576（元），580＞576．答：去乙店合算．【解析】（1）设购买x盒乒乓球时，甲商店应付款40×6+10（x﹣6），乙商店应付款（40×6+10x）×90%，根据两家优惠办法付款一样，直接列方程求解；（2）（3）分别列出当购买20盒、40盒乒乓球时，甲、乙两店所需付款，比较后选择价格低的即可．五、课堂运用【基础】“中国竹乡”安吉县有着丰富的毛竹资源．某企业已收购毛竹52.5吨．根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元；如果进行精加工，每天可加0.5吨，每吨可获利5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售．为此研究了二种方案：方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利元．方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利元．问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．【答案】：解：由已知得：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利为：1000×52.5=52500（元）．故答案为：52500．30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：0.5×30×5000+（52.5﹣0.5×30）×100=78750（元）．由已知分析存在第三种方案．设粗加工x天，则精加工（30﹣x）天，依题意得：8x+0.5×（30﹣x）=52.5，解得：x=5，30﹣x=25，所以销售后所获利润为：1000×5×8+5000×25×0.5=102500（元）．【解析】由已知将毛竹全部粗加工后销售，即获利为：1000×52.5元．30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：0.5×30×5000+（52.5﹣0.5×30）×100（元）．由已知分析存在第三种方案，可设粗加工x天，则精加工（30﹣x）天，则得方程8x+0.5×（30﹣x）=52.5，解方程求出粗加工、精加工的天数，从求出销售后所获利润．【巩固】学校综合实践活动小组的同学们乘车到天池山农科所进行社会调查，可供租用的车辆有两种：第一种可乘8人，第二种可乘4人．若只租用第一种车若干辆，则空4个座位；若只租用第二种车，则比租用第一种车多3辆，且刚好坐满．（1）参加本次社会调查的学生共多少名？（2）已知：第一种车租金为300元/天，第二种车租金为200元/天．要使每个同学都有座位，并且租车费最少，应该怎样租车．【答案】解：（1）设参加本次社会调查的同学共x人，则4（+3）=x，解之得：x=28答：参加本次社会调查的学生共28人．（2）其租车方案为①第一种车4辆，第二种车0辆；②第一种车3辆，第二种车1辆；③第一种车2辆，第二种车3辆；④第一种车1辆，第二种车5辆；⑤第一张车0辆，第二种车7辆．比较后知：租第一种车3辆，第二种车1辆时费用最少，其费用为1100元．【解析】（1）要注意关键语“只租用第一种车若干辆，则空4个座位；若只租用第二种车，则比租用第一种车多3辆，且刚好坐满”，根据两种坐法的不同来列出方程求解；（2）要考虑到不同的租车方案，然后逐个比较，找出最佳方案．【拔高】某地的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润4000元，经精加工后销售，每吨利润7000元．当地一家公司现有这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行．受季节等条件的限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成．如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说说理由．【答案】解：方案一：4000×140=560000（元）；方案二：15×6×7000+（140﹣15×6）×1000=680000（元）；方案三：设精加工x吨，则；解得：x=60，7000×60+4000×（140﹣60）=740000（元）；答：选择第三种．【解析】方案（1）和方案（2）的获利情况可直接算出，方案三：设精加工x吨，本题中的相等关系是：精加工的天数+粗加工的天数=15天．即：+=15，就可以列出方程．求出精加工和粗加工个多少，从而求出获利．然后比较可得出答案．课程小结列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．