4.3--三角函数的图象与性质

柯桥中学高三数学组何利民第四编三角恒等变换、解三角形§4.3三角函数的图象与性质1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx三角函数图像及性质2、正弦函数y=sinx的性质1、正弦函数y=sinx的图像定义域:值域:周期:奇偶性:单调区间:增区间减区间对称轴:对称中心:kk22,22kk223,222kx0,kR[-1,1]2π奇函数1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx4、余弦函数y=cosx的性质3、余弦函数y=cosx的图像定义域:值域:周期:奇偶性:单调区间:增区间减区间对称轴:对称中心:R[-1,1]2π偶函数kk2,2kk2,2kx0,2k三角函数图像及性质y=tanx322-32--2oyx6、正切函数y=tanx的性质5、正切函数y=tanx的图像定义域:值域:周期:奇偶性:单调区间:增区间减区间对称轴:对称中心:Rπ奇函数无无kk2,22kx)(0,2Zkk三角函数图像及性质函数的图象有什么关系呢?ysinxyAsinx与ysinxxR探究一：对，的图象的影响.00ysinx.结论一：的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左或向右平移个单位长度得到0ysinxxR探究二：对，的图象的影响.1101ysinxysinx结论二：的图象,可以看作是把的图象上所有的点的横坐标缩短或伸长到原来的倍，而纵坐标保持不变得到的.)0,0()sin(AxAy的图象及性质0AAyAsinxxR探究三：对，的图象的影响.101yAsinxysinxAAA结论三：的图象,可以看作是把的图象上所有的点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍，而横坐标保持不变得到的.)sin()sin()sin(sin)1(xAyxyxyxy)sin()sin(sinsin)2(xAyxyxyxy00yAsinxA,结论：作函数()的图象的步骤：xysin;1.画出函数的图象即：正弦曲线ysinx2.把正弦曲线向左(右)平移个单位长度，得到函数的图象;1xysin3.使上述曲线上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象;AysinxA4.最后把上述曲线上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象.思考：上述步骤2和步骤3可以换顺序吗？答：不行!因为代数上的代换，是一种“整体代换”.①用五点法作图(一个周期)xx2232)sin(xAy00A0-A0②A---振幅----周期2T21Tf相位x初相----频率.sin,2cos2sin3.的像经过怎样的变换得到的图并说明这个图像是由的图像用五点法画出函数例xyxxy一般函数y=f(x)图象变换基本变换位移变换伸缩变换上下平移左右平移上下伸缩左右伸缩y=f(x)图象y=f(x)+b图象y=f(x+φ)图象y=Af(x)图象y=f(ωx)图象向上(b0)或向下(b0)移︱b︱单位向左(φ0)或向右(φ0)移︱φ︱单位点的横坐标变为原来的1/ω倍纵坐标不变点的纵坐标变为原来的A倍横坐标不变基础自测1.函数y=1-2sinxcosx的最小正周期为（）4.D2.C.B21.AB2.设点P是函数f(x)=sinx(≠0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是则f(x)的最小正周期是（）,44.D2.C.B2.AB3.函数y=sin的图象（）A.关于点对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于直线对称)32(x)0,3(4x)0,4(3xA4.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是()①在上递减；②以为周期；③是奇函数.A.y=tanxB.y=cosxC.y=-sinxD.y=sinxcosx)2,0(2C5.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin(x∈R)，下面结论错误的是（）A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)在区间上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数)2(x2,0D题型一与三角函数有关的函数定义域求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cosx);(2)y=本题求函数的定义域:(1)需注意对数的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解；(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解.【例1】.cossinxx思维启迪题型分类深度剖析方法一利用余弦函数的简图得知定义域为}.,2222|{Zkkxkx}.,2222|{Zkkxkx方法二利用单位圆中的余弦线OM,依题意知0OM≤1,∴OM只能在x轴的正半轴上，∴其定义域为解(1)要使函数有意义,必须使sin(cosx)0.∵-1≤cosx≤1,∴0cosx≤1.方法一利用图象.在同一坐标系中画出［0,2］上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.在［0，2］内，满足sinx=cosx的x为再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为,45,4}.,24524|{Zkkxkx（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.方法二利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx≥cosx,即MN≥OM，定义域为内在则).]2,0[(454x}.,24524|{Zkkxkx方法三,0)4sin(2cossinxxxZ.kkxkkxkxyx,24542,242sin,4解得图象和性质可知的由正弦函数视为一个整体将所以定义域为}.,24542|{Zkkxkx(1)对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域，仍然是使解析式有意义即可.(2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式).(3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴.探究提高知能迁移1求下列函数的定义域：.)8π2cos(1tan)1sin2lg()2(;cos21)1sin2lg()1(xxxyxxy解(1)要使函数有意义,必须有,0cos2101sin2xx)(,π2π35π23ππ2π65π26π,21cos21sinZkkxkkxkxx解得即),π(26π5π23πZkkxk).(π26π5π,23πZkkk故所求函数的定义域为),(2ππ8π21tan21sin,0)8π2cos(01tan01sin2)2(Zkkxxxxxx得由可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集，如图所示：4π3π2)(4ππ2ππ6π5π26ππ2kxkkxkkxkZ}.,4π3π22ππ2|{Zkkxkx函数定义域为题型二三角函数的单调性与周期性【例2】;)23sin()1(的单调递减区间求函数xy.)46tan(3)2(的周期及单调区间求xy思维启迪),32sin(xy（1）化为再求单调区间;(2)先化为,再求单调区间.)64tan(3xy解).(12512),(223222.)32sin(,),32sin()1(ZZkkxkkkxkxyxy解得由的单调递增区间只需求递减区间欲求函数的单调由已知函数).(125,12Zkkk为原函数的单调递减区间).)(384,344()46tan(3,))(384,344()64tan(3),(3843442642.4)46tan(3,4||),64tan(3)46tan(3)2(ZZZkkkxykkkxykkxkkxkxyTxxy的单调递减区间为内单调递增在得由的周期为(1)求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(其中A≠0,0)的函数的单调区间,可以利用解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“x+(0)”视为一个“整体”；②A0(A0)时，所列不等式的方向与y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同（反）.（2）对于y=Atan(x+)(A、、为常数),其周期单调区间利用解出x的取值范围,即为其单调区间.对于复合函数y=f(v),v=(x)，其单调性判定方法是:若y=f(v)和v=(x)同为增（减）函数时，y=f((x))为增函数；若y=f(v)和v=(x)一增一减时，y=f((x))为减函数.探究提高,||T),2,2(kkx知能迁移2求函数的单调区间.解方法一)4sin(2xy).4sin(2)4sin(2xyxy化成),(232422)4sin(2),(232,22)(22,22)(sinZZZRkkxk、xykkk、kkk、uuy的不等式确定递减区间分别由下面的递增函数递减区间分别为的递增).(472,432)(432,42)4sin(2).(43242),(22422),(472432ZZZZZkkk、kkk、xykkxkkkxkkkxk增区间分别为单调递的单调递减区间函数即即方法二.4sin2)4sin(2复合而成的与可看作是由xuuyxy),(23222.)4sin(2)(432,42).(43242),(2222,4ZZZZkkukxykkkkkxkkkukxu由的递减区间为即得由为减函数又).(432,42);(42,452)4sin(2,.)4sin(2)(42,452),(42452)(232422ZZZZZkkkkkkxyxykkkkkxkkkxk递减区间为的递增区间为综上可知的递增区间为即得即题型三三角函数的对称性与奇偶性已知f(x)=sinx+cosx（x∈R），函数y=f(x+)的图象关于直线x=0对称，则的值可以是（）先求出f(x+)的函数表达式.f(x+)关于x=0对称，即f(x+)为偶函数.【例3】36.D4.C3.B2.A思维启迪解析),3sin(2)(xxf.6,6,23.)(,0)3sin(2)(,0Z，时当为偶函数即对称图象关于kkkkxfxxxfy答案Df(x)=Asin(