2.4.2-抛物线的简单几何性质

边城高级中学张秀洲1、掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用.2、掌握直线与抛物线位置关系的判断．自学教材P68—P72解决下列问题二、完成P72练习1、2、3、4.一、掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用．抛物线的标准方程：标准方程图形焦点准线22(0)ypxp22(0)xpypxyoF.xyFo(,0)2pF.yxoF2px(0,)2pFxoyF2py22(0)ypxp(,0)2pF2px22(0)xpyp(0,)2pF2py结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.(4)离心率(5)焦半径(6)通径始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2P思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA(7)焦点弦：焦点弦公式：),(11yx下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。B),(22yx12pxx特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点，并且经过点M（2，），求它的标准方程.解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（2，），22所以设方程为：22(0)ypxp又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx22例4斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.解这题,你有什么方法呢?法一:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(一般方法);法二:设而不求,数形结合,活用定义,体现转化思想，运用韦达定理,计算弦长.xyOFABB’A’224,(1)4,yxxx代入方程得2610.xx化简得121221212612()48xxxxABxxxx8AB所以，线段的长是。解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1xyOFABB’A’1122(,),(,),,,.ABAxyBxyABldd设到准线的距离分别为11221,21,2ABpAFdxxpBFdxx由抛物线的定义可知1228ABAFBFxx所以2,1,2pp:1.lx准线解法二:由题意可知,题后感悟：一.求抛物线弦长的一般方法①用直线方程和抛物线方程列方程组；②消元化为一元二次方程后，应用韦达定理，求根与系数的关系式，而不要求出根，代入二.若弦过焦点，即为焦点弦则据定义转化为|AB|＝x1＋x2+p或|AB|＝y1＋y2+p.结合②中的结可求解。体现了转化思想。2212121-4ABkxxxxxyoFDBlA532.图3,,,:.FABADDB例过抛物线焦点的直线交抛物线于两点通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点求证直线平行于抛物线的对称轴xyoFDBlA532.图.,,,.建立直角坐标系点它的顶点为原轴对称轴为以抛物线如图证明x532122,pxy设抛物线方程为2220020,,,xypyOAypyA的方程为线则直的坐标为点32.px抛物线的准线方程为43202.,ypyD点的纵坐标为可得、联立xyoFDBlA532.图.,,22202200ppypxyyAFpF的方程为直线所以的坐标是因为点52022.,ypyBpxy坐标为点的纵可得联立与.,//,平行于抛物线的对称轴故轴得、由DBxDB54?你还有其他证明方法吗例6、已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；另一种是直线与抛物线相切．判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离).2(1xkyl的方程为解：由题意，设直线xyxky4)2(12由方程组0)12(442kyky可得).12(160)2(2kkk＝时，方程的判别式为当0120120kk，即＝由.21,1kk或解得个公共点。即直线与抛物线只有一，时，方程组只有一个解，或即当211kk.10)1(yk时，由方程得当.41,412xxyy得代入把)1,41(点与抛物线只有一个公共这时，直线l0120220kk，即由.211k解得公共点。即直线与抛物线有两个时，方程组有两个解，且即当0,211kk0120320kk，即由.211kk，或解得共点。即直线与抛物线没有公，时，方程组没有实数解或即当211kk分析:直线与抛物线有两个公共点时△0分析:直线与抛物线没有公共点时△0个公共点。即直线与抛物线只有一时，，或，或综上所述，当0211kkk公共点。即直线与抛物线有两个时，且当0,211kk共点。即直线与抛物线没有公时，或当211kk注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情形2019年11月25日星期一二、完成P72练习1、2、3抛物线的焦点弦如图，AB是抛物线y2＝2px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；(2)|AB|＝2(x0＋p2)(焦点弦长与中点关系)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p；(4)若直线AB的倾斜角为α，则|AB|＝2psin2α；如当α＝90°时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝p24，y1·y2＝－p2.221122122(0)(,),(,),:.ypxpABAxyBxyyyp例4、过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，设求证QPBA,为点作准线的垂线，垂足，解：过)0,2(),,2(),,2(21pFypQypPQFPF0QFPF0),(),(21ypyp即0212yyp221pyy即4221pxx易得：FxOyABPQ2019年11月25日星期一你学会了吗?※对自己说，你有什么收获？※对同学说，你有什么提示？※对老师说，你有什么疑惑？Page271、掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2、会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;必做题：《教材》P73A组4、6题1次2019年11月25日选做题：《教材》P73A组5题【总复习】课本P80-P81《复习参考题》