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2.3.2抛物线的简单几何性质(2)方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)一、直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离;2、相切;3、相交(一个交点,两个交点)与双曲线的情况一样xyO二、判断方法探讨1、直线与抛物线相离,无交点。例:判断直线y=x+2与抛物线y2=4x的位置关系计算结果:得到一元二次方程,需计算判别式。相离。xyO2、直线与抛物线相切,交与一点。例:判断直线y=x+1与抛物线y2=4x的位置关系计算结果:得到一元二次方程,需计算判别式。相切。二、判断方法探讨xyO3、直线与抛物线的对称轴平行,相交与一点。例:判断直线y=6与抛物线y2=4x的位置关系计算结果:得到一元一次方程,容易解出交点坐标二、判断方法探讨xyO例:判断直线y=x-1与抛物线y2=4x的位置关系计算结果:得到一元二次方程,需计算判别式。相交。4、直线与抛物线的对称轴不平行,相交与两点。二、判断方法探讨判断直线与抛物线位置关系的操作程序(一):把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交(一个交点)计算判别式0=00相交相切相离总结:判断直线是否与抛物线的对称轴平行不平行直线与抛物线相交(一个交点)平行判断直线与抛物线位置关系的操作程序(二)计算判别式0=00相交相切相离数形结合例6已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?1(2).lykx解:直线的方程为xyxky4)2(12由方程组244(21)0kyyk可得⑴只有一个公共点200,16(21)0kkkk或△11,0,2kk或或k=⑵有两个公共点2016(21)0kkk△110,02kk或⑶没有公共点2016(21)0kkk△11,2kk或11,0,2kkk综上所述当或或时,直线与抛物线只有一个公共点;11002kk当或时,直线与抛物线有两个公共点;112kk当或时,直线与抛物线没有公共点。.FxOy00(.)Pxy解:直线与抛物线无交点设抛物线上一点,02064xy则|9164634|00yxd5463400yx代入得:将64200yx546316020yyd)(,804616480020Ryyy2,24min0dy时当另解:与抛物线相切设直线034myx)24,9(P此时03160346422myymyxxy36:0m得由2、在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L:4x+3y+46=0的距离最短,并求此距离.xyoFDBlA532.图.:,,,2平行于抛物线的对称轴直线证求于点线线的准物线顶点的直线交抛物抛和通过点两点交抛物线于的直线过抛物线焦点例DBDABAF.,,称轴之间的位置关系与抛物线对助方程研究直线借方程过建立抛物线及直线的即通我们用坐标法证明分析DB.,.的纵坐标相等即可的纵坐标与点点只要证明所示的直角坐标系建立如图BD532xyoFDBlA532.图.,,,.建立直角坐标系点它的顶点为原轴对称轴为以抛物线如图证明x532122,pxy设抛物线方程为2220020,,,xypyOAypyA的方程为线则直的坐标为点32.px抛物线的准线方程为43202.,ypyD点的纵坐标为可得、联立xyoFDBlA532.图.,,22202200ppypxyyAFpF的方程为直线所以的坐标是因为点52022.,ypyBpxy坐标为点的纵可得联立与.,//,平行于抛物线的对称轴故轴得、由DBxDB54例3、已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点。(1)是否为定值?呢?(2)是否为定值?22(0)ypxp1122(,)(,)AxyBxy、12xx12yy11||||FAFBxOyFA),(11yxB),(22yx这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.三.抛物线的最值与定值问题2112212203,,,.|):|.(ypxpFlAxyBxyABxxp已知过抛物线的焦点的直线交抛物例线于两抛物线的焦点弦问题问:点题1求证121222:()()ABAFBFppxxxxp解21122220322.(),,,.,.si:nypxpFlAxyBxyplAB已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两例抛物线的焦点弦问题问题点若的倾斜角为则222121212222222221202112121:,,,:()tan,,tan:,tan,,tan()tantansinABpABpyplyxxypyppyypyypAByyp解若则此时为抛物线的通径结论得证若设直线的方程为即代入抛物线方程得丛书62页12题211222303,,,..,.():ypxpFlAxyBxy例抛物线的焦点弦问题已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点焦点弦中通题径最短问2222221221223:sinsin,sin,:;,;.:pABppABpp解由问题知:的最小值为即通径最短.通径的长度通径越大抛物线开口越大通径是抛物线的所有焦点弦中通径的性最短的质2112222121234204.(),,,.:.:,ypxpFlAxyBxypxxyyp例抛物线的焦点弦问题问题已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点求证212221212221212222244:,,,()yypyyxxppyyPxxP解由问题的解法知:MNK发现一个结论:过抛物线22(0)ypxp的焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为12yy、,则212yyp.这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.几何解释,就是2MKNKKF思考:“一条直线和抛物线22(0)ypxp相交,两个交点的纵坐标为12yy、,且212yyp.则这条直线过焦点.”成立吗?211222305,,,..)::(ypxpFlAxyBxyAB已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点求证例抛物以为直线的焦径的圆点弦与问题问题准线相切111111222:,,,,,,,.ABMABMABMAABBAFBFABMM解设的中点为过分别作准线的垂线垂足分别为则结论得证211222011236,,,.:.():ypxpFlAxyBxyFAFBp已知过抛物线的焦点的直线交例抛物线于两抛物线的焦点弦问题题点问求证222222111111111222220411112:,,,,,cos,coscoscos,,.:,,(),,()ABxRSlPEREFFRPAFAFAFAFPBFPFAFBplpykxlkypxkpkxpkxpFAFBxx解法过作轴的垂线垂足分别为直线的倾斜角为同理解法若直线的斜率不存在结论显然成立若直线的斜率存设为则222pp211222202231.(),,,..si:nAOBypxpFlAxyBxypS已知过抛物线的焦点的直线交抛例抛物线的焦点弦问题题物线于两点问0221122121212222:sinsinsinsinsinsinsinOABOBFAFSSSOFBFOFAFOFAFBFOFABppp解A(x1,y1)(1)|AB|=x1+x2+p(2)x1x2=,y1y2=-p242pPBFAF2||1||1)3(XyFOB(x2,y2)MA1B1M1y2=2px(p0)三点共线三点共线11,,,,,)4(AOBBOA(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切总结:焦点弦问题例4、已知抛物线C:y2=4x,设直线与抛物线两交点为A、B,且线段AB中点为M(2,1),求直线l的方程.说明:中点弦问题的解决方法:①联立直线方程与曲线方程求解②点差法中点弦问题:例5、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交于A、B,求AB中点的轨迹方程..FxOyQABM解:1122(,),(),(,)AxyBxyABMxy设中点22212122xyxy由)(221212121xxyyxxyy相减得:1ABky12ABykx又112yyx220yyx即212(,)(2,0)20xxxyyyx当=2时,为满足02:2xyyM轨迹方程为中点(2,3)5Fy1、求焦点为,准线方程为的抛物线方程..FxOyP是抛物线上任意一点解:设),(yxP则由抛物线的定义知:的距离的距离等于到直线到5yFP|5|)3()2(22yyx即)4(4)2(2yx化简得:练习:已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的最小值。FABM解法1:),(),(),,(002211yxMAByxByxA中点设bkxylAB:设2xybkxy02bkxx241||22bkkAB由弦长bxxkyyy)2(221210bk2222141kk41114122kk43411)1(时,取等号当k43min0y41:xylAB此时xoy22114kbk1212,xxkxxb2221214kkk利用弦长公式解题题型二:抛物线的最值问题练习已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的最小值。解法二:),(),(),,(002211yxMAByxByxA中点设xoyFABMCND,2BCADMN,41200yypMNBFBCAFAD,012()4AFBFy2,ABBFAFABF中)41(20yBCAD2|)||(|minBFAF43min0y即利用定义解题题型二:抛物线的最值问题24(1)(0,1)PyxPPy2、设是曲线上一动点,则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是?.FxOyP的抛物线焦点到准线的距离为表示顶点在解:曲线2)0,1()1(42xy0,(2,0)xF所以抛物线的准线:焦点:||PFdAd||||||AFPFPA又|||)||(|,,minAFPFPAFPA共线时,当5||)|(|minAFdPA222(3)1yxxy4、抛物线和圆上最近两点间的距离为?.FxOyPCQAQP与圆上任意一点抛物线上任意一点分析:如图,||||PAPQ圆心最小值时,连线必经过||PQ)0,3(),,(CyxP设22)3(||yxPC)0(952xxx211||25minPCx时,当1211||minPQ
本文标题:抛物线的简单几何性质(第二课时)
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