通信技术概论信号能量谱密度与功率谱密度

202.2.3功率谱密度我们定义信号tf的能量（作用归一化处理）：由电压tf（或者电流tf）在1电阻上消耗的能量：dttfE)(2，（注释：22uRuiuE/）积分值存在，信号的能量为有限值，称tf为能量信号。对于能量无限大的信号（如周期性信号），我们考虑能量的时间平均值，这显然就是信号的平均功率。这种信号称作（平均）功率信号。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。我们定义信号tf的平均功率，为电压tf在1电阻上消耗的平均功率（简称功率）：2221TTTdttfTSlim式中，T是为求平均的时间区间。为了更好地描述能量信号、功率信号，我们引入能量谱密度和功率谱密度概念。能量谱密度、功率谱密度函数表示信号的能量、功率密度随频率变化的情况。我们知道，非周期性信号的频谱宽度是无限的，然而，实际上信号的大部分功率是集中在某个有限的频谱宽度内。通过研究功率谱密度，可以帮助了解信号的功率分布情况，确定信号的频带等。对于能量信号tf，根据付里叶反变换有deFtftj21则信号的能量：dtdeFtfdttfEtj])[(212dFFddtetfFEtj*2121当tf为实信号时，)()(*FF。今后如无特别说明，都是指实信号，21这样则得到：dFFdttfE*)(212dF221式中，令，)(2HzJEF/,)()(，称)(E为能量谱密度。信号的能量又可以表示为：dEE)(21上式就是能量信号的parsverl公式。公式表明：信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出的能量的连续和。能量谱密度)(E反映了信号能量在频率轴上的分布情况。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。对于功率信号，其功率谱密度可按下面方法求得：把)(tf在间隔2Tt以外的部分截去，得到截短函数：其它20TttftfT,,)(如下图示，只要T为有限值，)(tfT的能量TE也是有限值。设)(TF为)(tfT的频谱函数，这样，)(tfT的能量TE是：dFdttfETTT2221)()(tf0ttfT0t2T2T22因为，2222TTTdttfdttf)()(所以有：dTFdFTdttfTdttfTSTTTTTTTTT2222222121111limlimlimlim平均功率当T增加时，)(tfT的能量也增加，2)(TF也增加，T时，TFT2)(的极限可能存在，令：)(limSTTPTF2，～称此极限为（平均）功率谱密度信号tf的（平均）功率又可表示为：002121dffPdPdPSSSS（注：)(SP功率谱密度是频率的实偶函数）物理意义：信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献出的功率之连续和。功率谱密度)(E反映了信号能量在频率轴上的分布情况。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。需要说明：功率谱密度只与信号的幅度谱有关，与相位谱无关。也就是说从功率谱中只能获得信号的幅度信息，得不到相位信息。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。2.2.4自相关函数与互相关函数相关函数在信号分析中是十分有用的工具。自相关函数表征信号与其本身在时移后的关联程度。互相关函数表征两个不同的信号波形在不同时刻间的相互关联程度。（1）自相关函数23对于功率信号tf，自相关函数定义为：221TTTdttftfTRlim对于周期为T的周期性信号tf，自相关函数定义为：221TTdttftfTR功率信号tf，其自相关函数R与功率谱密度)(SP构成傅立叶变换对：（推导见徐佩霞书P.25）21付氏反变换付氏正变换dePRdeRPjSjS或记为：sPR利用这一关系，可通过自相关函数来求功率谱SP。（2）互相关函数对于功率信号tf1与tf2的互相关函数定义为：2221211TTTdttftfTRlim而tf2、tf1的互相关函数：2212121TTTdttftfTRlim注：下标1、2次序不能颠倒，不满足交换律实信号tf1、tf2满足下列关系：2112RR2.2.5确定信号通过线性系统所谓线性系统，是用迭加原理表征的，这意味着：响应函数激励函数~~trtf11响应激励~~trtf2224则：tftftrtrtftftrtr21212121对确定性信号通过线性时不变系统，表述激励与响应、输入输出之间的关系有：)()(利用信号的频率特性频域性利用信号的时间特性时域法时域分析~把激励和响应都看作时间函数频域分析~将时间变量的函数经付氏变换到频率变量去分析（1）时域分析方法时域法的基本分析手段是把外加的复杂激励信号，在时域中分解成一系列单元激励信号，然后计算各个单元信号通过系统的响应，最后在输出端叠加后得到总响应。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。利用迭加原理：一个激励函数可表示为一些较简单的函数之和。在这里，考虑另一类基本函数（单元信号），激励函数tf表示为冲激函数之和。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。dtftftf0lim式中，t时，冲激强度为f。如果t的响应是th，则激励函数tf的总响应为：dthfthftr0lim对于物理可实现系统，0t时，0tf，有总响应：tdthftr0时域分析法示意图如下图所示：0fttf激励0t处的冲激响应tt应冲激响应迭加后的总响0trtr125（2）频域分析法可以将激励函数tf由付氏变换表示为指数函数的（连续）和，获得系统的响应，称为傅立叶（也可用拉普拉斯方法）方法。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。我们定义特殊类型的乘积是卷积：dtfftftf2121，则：)(0满足交换律tfththtfdthfthftrlim利用卷积定理得)(付氏方法FHHFR其中HthFtfRtr如果已知输入激励信号的频谱F和系统传输函数H，利用频域法26可求系统响应：FHHFR（满足交换律）系统传输函数H一般是复数，因此可写成：jeHH，式中，系统的幅频特性~H，系统的相频特性~。线性系统)(H输入激励系统响应（输出）FR频域分析法示意图