线段及角的和差倍分计算

一线段的和差倍分及计算(教材P128练习第3题)如图1，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度．教材回归(七)线段及角的和差倍分计算图1解：∵D是线段AB的中点，AB＝4cm，∴AD＝BD＝2cm.∵C是线段AD的中点，∴AC＝CD＝1cm，∴CD＝1cm.【思想方法】(1)数有加减乘除四则运算，线段有和差倍分四则运算．(2)线段的和差倍分四则运算，关键是正确地画出图形，有时需要分类讨论．(3)对于比较复杂的题目需画出图形，可设某条线段为x，再结合已知量找出等量关系，列一元一次方程求解．(4)结论：已知线段AB，点C是线段AB上任意一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，则MN＝12AB.在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB＝1.5cm，则BC的长是()A．6cmB．8cmC．2cm或6cmD．2cm或8cmD如图2，某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A、C、D、B，AC＝CD＝DB.现想在AB段建一个加油站M，要求使A、C、D、B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置()图2A．在AB之间B．在CD之间C．在AC之间D．在BD之间B【解析】根据题意把M的位置分别建在AC之间时，CD之间时，DB之间时，分别算出A、B、C、D站的各一辆汽车到加油站所行驶的总路程，然后进行比较即可．变形2答图(1)当M的位置在AC之间时，A、B、C、D站的各一辆汽车到加油站所行驶的总路程＝AC＋MD＋MB＝4AC＋2MC；(2)当M的位置在CD之间时，A、B、C、D站的各一辆汽车到加油站所行驶的总路程＝CD＋AM＋MB＝4AC；(3)当M的位置在DB之间时，A、B、C、D站的各一辆汽车到加油站所行驶的总路程＝4AC＋2MD，综上，在CD之间(含C、D点)建一个加油站M时，所行驶的总路程最少，所行驶的总时间最少．如图3，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB的中点，AC＝8，EB＝9，求线段DE的长．图3解：根据EB＝9得出CB＝18，则AB＝AC＋CB＝26，则DB＝AB2＝13，所以DE＝DB－EB＝4.如图4，线段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分别是CD，AB的中点，且MN＝2cm，求AB的长．图4解：设AC，CD，DB的长分别为3a，4a，5a，∴CM＝2a，AB＝12a，AN＝6a，∴MN＝AN－AM＝6a－(3a＋2a)＝a＝2cm，∴AB＝12a＝24cm.如图5，点C分线段AB为5∶7，点D分线段AB为5∶11，已知CD＝10cm，求AB的长．解：因为CD＝AC－AD＝512AB－516AB＝10cm，所以AB＝96cm.图5(1)求AB，AC的长度．(2)求线段MN的长度．图6如图6，已知线段AB上有两点C，D，且AC＝BD，M，N分别是线段AC，AD的中点，若AB＝acm，AC＝BD＝bcm，且a，b满足(a－10)2＋b2－4＝0.解：(1)因为(a－10)2＋b2－4＝0，所以AB＝a＝10cm，AC＝b＝8cm.(2)MN＝12AC－12AD＝4－12(AB－BD)＝4－1＝3(cm)．已知线段AB的长为4，在线段AB的延长线上取一点C，使AC＝53BC，在线段AB的反向延长线上取一点D，使BD＝47DC，若E为DC的中点，求BE的长．解：如图，∵AC＝53BC，即AC∶BC＝5∶3，∴可设AC＝5x，BC＝3x，∴AB＝AC－BC＝5x－3x＝2x＝4，解得x＝2，∴AC＝5x＝10，BC＝3x＝6.∵BD＝47DC，即BD∶DC＝4∶7，变形7答图∴可设BD＝4y，DC＝7y，∴BC＝DC－DB＝7y－4y＝3y＝6，解得y＝2，∴DC＝7y＝14.∵E为DC的中点，∴CE＝7，∴BE＝CE－BC＝7－6＝1.二角的和差倍分及计算(教材P140习题4.3第9题)如图7，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．(1)如果∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，那么∠BOD是多少度？(2)如果∠AOE＝140°，∠COD＝30°，那么∠AOB是多少度？图7【思想方法】解这种题的方法主要是寻找出要求的角与相关的角之间的和差倍分关系．通过求出相关的角，从而求出要求的角．(2)∠AOB＝12(∠AOE－∠COE)＝12(∠AOE－2∠COD)＝12×(140°－2×30°)＝40°.解：(1)∠BOD＝∠BOC＋∠COD，∵OB是∠AOC的平分线，∴∠BOC＝∠AOB＝40°.∵OD是∠COE的平分线，∴∠COD＝∠DOE＝30°，∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝70°；如图8，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°，∠COF＝90°.(1)图中∠AOF的余角是______________________________(把符合条件的角都填出来)；图8(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出两对：_________________________________________________．(3)如果∠AOD＝140°，那么根据____________________，可得∠BOC＝________．如果∠AOF＝70°，可得∠DOB＝_______．∠EOF，∠DOB，∠AOC∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC(答案不唯一)同角的补角相等140°20°如图9所示，已知直线AB上一点O，∠AOD＝44°，∠BOC＝32°，∠EOD＝90°，OF平分∠COD，求∠FOD与∠EOB的度数．【解析】充分运用角平分线，平角，互为余角，互为补角的概念进行解答．图9解：∠COD＝180°－44°－32°＝104°.又OF平分∠COD，所以∠FOD＝12∠COD＝12×104°＝52°.又因为∠EOD＝90°，所以∠AOD＋∠AOE＝90°，所以∠AOE＝90°－∠AOD＝90°－44°＝46°.又因为∠AOE＋∠EOB＝180°，所以∠EOB＝180°－46°＝134°.已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α，∠β.解：设∠α＝x，则∠β＝180°－x.由题意，得(180°－x)×12＝x－30°，解得x＝80°，∴∠α＝80°，∠β＝100°.如图10，从点O引出6条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE，∠EOF＝140°，求∠COD的度数．图10解：设∠COD为x，∵∠EOF＝140°，∴∠EOD＋∠FOC＝140°－x.∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，∴∠BOC＋∠AOD＝2(140°－x)．∵绕点O一周的角度是360°，∴有2(140°－x)＋100°＋x＝360°.解得x＝20°，∴∠COD＝20°.