不定积分经典习题

不定积分习题课通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：1、理解原函数、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计算。4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。一、知识网络1定不分积某些无理函数积分三角函数有理式积分有理函数积分特殊函数的积分查表法分部积分法第二换元积分法凑微分法第一换元积分法换元积分法直接积分法计算方法基本积分公式不定积分的性质性质与公式不定积分的几何意义不定积分原函数基本概念.4)(.3.2.1一、求不定积分：例1.计算22arctanxxedxe.提示：22arctanxxedxe=2222arctan[arctan](1)xxxxxxxdeedeeeee=222[arctan(1)xxxxxxdedeeeee]=21arctanarctanxxxxeeeeC例2．计算dxxx)1(1[解一]dxxx)1(1=Cxxxdx2222)21()21()21(ln)21()21()21(1=Cxxx)1(21ln[解二]dxxx)1(1=12)1ln(2)(12)1(1Cxxxxddxxx=Cxxx)1(21ln其中2ln1CC[方法小结]当被积函数含有根式时，通过巧妙的凑微分化成常用积分公式。例3．计算dxexexx2)1([解一]令，则texdxexexx2)1(=dtttttttddtttdttttt1111ln)11(ln)1(ln1)1(ln22=Cttttdttttt)1ln(ln1ln]111[1ln=Ceexexxx)1ln(1[解二]dxexexx2)1(=dxeexedxeexdxxxxx111)11()1()1(2=)1(1)1(1xxxxxxxxeedeexdxeeeex=Ceeexdeeeexxxxxxxx)1ln(ln1)111(1=Ceexexxx)1ln(1[方法小结]被积函数中含有的不定积分，可令,从而将积分化为其它易积的积分。另一方面，当用分部积分法，其中难以一步得到时，可以先将其中一部分凑成xetexdvu,)())((xdxf的形式，从而))((xdfdv。例4．计算22arctan(1)xdxxx.2[解一]令arctanxt，即tgtx，则tdtdx2sec22arctan(1)xdxxx=22222seccot(csc1)tansecttdtttdtttdttt=2cotcotcot2ttdttdttttdt=2cotln|sin|2ttttC=Carctgxxxxarctgx2)(|1|ln22[解二]22arctan(1)xdxxx=22211arctan()arctanarctanarctan1xxdxdxxdxxxx=22arctan(arctan)2xxdxx21(arctan)arctan2xxdx22arctan1(arctan)(1)2xxdxxxx令tx1，则Cttdtdtttdxxx)1ln(21)1(11211)1(122222=Cxx|1|ln2从而原式=22arctan(arctan)ln||21xxxCxx。[方法小结]当被积函数含有难积的反三角函数时，通常的做法是将这一部分作变量替换。另若分母为相差一个常数的两个因式的乘积，则可以将分式拆项，分别积分。例5.计算dxxxcos1sin1[分析一]本题属于三角函数有理式的积分,可以利用万能公式作变量替换。[解一]令tan2xt，则222212,11cos,12sintdtdxttxttxdxxxsin1cos1Cttdtttdttttdtttttt)1ln()121(1121211112122222222=2tanln(1tan)22xxC3[分析二]本题被积函数含有三角函数,若适当利用三角函数恒等式（如倍角、半角公式、和差化积、积化和差等公式），往往能简化计算。[解二]4dxxxsin1cos12212sincossin12222tan2ln|cos2222coscoscos222xxxxxxdxddCxxx|2x[方法小结]一般地，被积函数含有三角函数时，常利用万能公式作变量替换或利用三角函数恒等式进行化简。前者虽然是通用的方法，但往往不是昀简便的。另须注意，本题两种解法给出的结果虽然不一致，但求导后都等于被积函数，所以都是正确的。例6．计算dxxbax))((1[分析一]注意到被积函数中含有两个根式，可以先将其中一个根式有理化，再将余下的根式作变量替换。[解一]xbaxaxxbaxaxxbax1))((1令,txbax即,122tbtax,)1()(222dtttabdxdxxbax))((1=2222212()122arctan2arctan()(1)1tbatxatdtdttCbatttbxC[分析二]本题也可以用凑微分法，计算过程更为简便。[解二]dxxbax))((1=Cxbaxaxabaxdaxdxbarcsin2)()(222[方法小结]当被积函数含有根式时，常常需要对根式进行处理，通常作变量替换，也可以用凑微分法。例7.计算dxx2sin31[分析一]被积函数分子、分母同除以，可化为的函数，利用x2sinx2csc2csccotxdx，22csccot1xx可以将积分化简。[解一]dxx2sin31=22222csccot1cot2(3csc1)3cot43cot()3xdxddxxxxx=13cot2323xarctgC。[分析二]被积函数分子、分母同除以，可化为x2cos22sec,tanxx的函数，而利用2sectanxdx，可以将积分化简。[解二]5dxx2sin31=222222ssecectan1tan(3)4tan343tan()2xdxddxxtgxxxx=12tan4332xarctgC[方法小结]当被积函数含有或xsinxcos的齐次函数时，常从各项中提取或，凑成或。x2sinx2costandxcotdx例8.计算dxxx2411[分析一]注意到被积函数中根式内外都有x的幂次，可尝试用倒代换。[解一]令tx1，则dxxx2411=duuuuudututdtttdt3t11121121121122222=Cuuduuduu12123)1()1(31112121=Ctt221223)1()1(31=Cxxxx233213)1([分析二]本题也可以用三角代换，令tanxt，则根式下可化为。从而x2sec被积函数可化为、xsinxcos的函数。[解二]令tanxt，dxxx2411=Cttttdttdtdttdtttsin1)(sin31sinsinsinsinsinsinsin1sincos3244243=31secsect()3tananttCttCxxxx233213)1([方法小结]被积函数中含有x的幂次，可尝试用倒代换，如果出现，或)(22ax)(22xa)(22ax，)(22xa则可以采用三角代换，然后利用三角函数恒等式将被积表达式化简。例9.计算dxxxx111[分析一]被积函数中含有复杂的根式xx11，因此可以先将此根式作变量替换。[解一]令txx11，则,1122ttx,)1(422dtttdx从而dxxxx111dttttdtttttt)1)(1(4)1(4112222222=221112()ln2arctan111tdttCttt=111ln2arctan111xxxCxxx[分析二]本题可以先根式有理化为dxxxx1112，然后令txsin，即可将根式化去。[解二]dxxxx111=dxxxx1112令tanxt，则原式=dxxxx1112＝tdtttsinsin1sin1cos=dttttsin1sin1cos2=lncsccottttCCttdtcsc==Cttdtcsc=lncsccottttC=Cxxxxarcsin11ln2[方法小结]被积函数中含有复杂的根式，可以先将根式作变量替换。可以先根式有理化，然后通过三角代换将根式化去。例10.计算dxxx32cossin[分析一]xdxxdxdxxxdxxxsecseccoscos1cossin33232，而前一个积分可以用分部积分法，后一个积分可以利用常用积分公式。[解一]xdxxdxdxxxdxxxsecseccoscos1cossin33232由于32secsectansectantansecsectansecsec3xdxxdxxxxxdxxxxdxxdx故311secsectansec22xdxxxxdx6从而原式=311secsecsectansec22xdxxdxxxxdx=11sectanlnsectan22xxxxC[分析二]注意到223sinsintantansintancoscosxxdxdxxxdxxx，本题也可以用凑微分法。[解二]2223sinsin1tantansintansin(tan)coscos2xxdxdxxxdxxdxxx=221111sin(tan)sintansin(tan)tancos2222xxxxdxxxxdx=22111sin(tan)tancoscossec222xxxxxxdx=2111sin(tan)tancossec222xxxxxdx=11tan(sintancos)lnsectan22xxxxxxC[方法小结]在用分部积分法的过程中，常会出现所求积分在等式右端再现的情况，从中即可求出所求积分。例11．(2004年高数一)已知，且xxxeef)(,0)1(f则)(xf.[分析]已知条件与的导数有关,所求的是的表达式,若能求出的导数,则其导数的不定积分即为.)(xf(xf)(xf)(xf)[解答]设,则textxln,从而.ln)(tttf因所以有.)()(Cxfdxxf.)(ln21lnlnln212CxfCxxxddxxx故.ln21)(212CCxxf由于,0)1(f故取,021CC所以xxf2ln21)(.练习：设，且xxf22sec)(tan1)0(f，求)(xf解：令，则，于是xu2tan1)(uuf121)()(2uuduufuf1)0(f，1c，121)(2xxxf。例12．(1992年高数二)求.123xdxx7[分析一]本题中难积的部分是.12x如果将视作整