04空间向量基本定理

空间向量基本定理复习回顾:1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使ab.共线与共面分析思考:如图,l为经过已知点A且平行非零向量a的直线,那么如何表示直线l上的任一点P?lAPa注:非零向量a叫做直线l的方向向量.二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OAaa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量ab、不共线,则向量p与向量ab、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)xy使pxayb.AabBCPp平面向量基本定理：有向量的一组基底)叫做表示这一平面内所e、e（。e＋λe＝λa，使，λ一对实数λ，有且只有a任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不e，e如果2122112121这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线向量来线性表示.在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢?即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基本定理呢?。e＋λe＝λa，使，λ一对实数λ，有且只有a任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不e，e如果22112121平面向量基本定理:问题情境猜想:。ezeyexp使实数组x，y，z，，存在一个唯一的有序p向量不共面，那么空间任一e、e、e如果三个向量321321．OAP′A′CBB′P证明:（1）先证存在性，，，，作过空间一点是三个不共面的向量，，，设pOPeOCeOBeOAOeee321321过点P作直线PP′∥OC，交平面OAB于点P′；在平面OAB内，过点P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别交直线OA，OB于点A′，B′。（2）再证惟一性用反证法延长OC至C′,使OC′=PP′,根据向量共线的条件，存在三个确定的实数x，y，z，使321ezCOeyBOexAO，，COBOAOOP321ezeyex所以C′空间向量基本定理：任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。。ezeyexp使实数组x，y，z，，存在一个唯一的有序p向量不共面，那么空间任一e、e、e如果三个向量321321。叫做基向量e、e、e称为空间的一个基底e、e、e我们把321321,如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底。特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。kji、、数学运用有什么关系？那么点构成空间的一个基底不为空间四点，且向量、判断：CBAOOCOBOACBAO,,,,,,,,,2有什么关系？与则空间的一个基底，与任何向量都不能构成、如果baba,1？构成空间的另一个基底与向量选哪个向量，一定可以中是空间的一个基底，从已知向量baqbapcbacba,,,,,练习共面，这与已知矛盾。，与共面，那么，与，因为如果答：向量bacbabacc共线共面例题1：例题2：AQ4AN3)AM2)AP1)}cba{1:4AQ:CQACQDCNDCMACPcAAbADaABDCBAABCD）；表示以下向量：，，，用基底＝上，且在的中点，点是点，的中是的中点，是，＝，＝，＝中，－如图，在平行六面体B'CDAA'C'D'BQNPM1212ABCDOOBCDACDABACADOO1.如图所示，四面体的六边都相等，、是和的中心，以向量，，为一个基底，求（用基底表示）。O1O2DECBA解：由正三角形的性质知BO1=2O1E，AO2=2O2E∴O1O2∥AB，且O1O2=1/3AB。AD0AC0AB31BA31OO21练习：解:ABCDA1B1D1C1MN连AN,则MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=AD－ND=（2b+c)13=（－a+b+c)13∴MN=MA+AN2.平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.3.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a－b+c122312(B)－a+b+c122312(C)a+b－c122312(D)a+b－c1223231.空间向量基本定理：。ezeyexp使实数组x，y，z，，存在一个唯一的有序p向量不共面，那么空间任一e、e、e如果三个向量321321。叫做基向量e、e、e称为空间的一个基底e、e、e我们把321321,2.共面向量定理:如果两个向量ab、不共线,则向量p与向量ab、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)xy使pxayb.4.已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，试用基底表示向量,,OAOBOCOGCOABMNG解：在△OMG中，OGOMMG1223OAMN12()23OAONOM111633OAOBOC//////3.,=,,,,,(01),ABCABCABaACbAAcACBCMNAMkACBNkBCkMNac例已知斜三棱柱设在面对角线上和棱上分别取点，使求证：与向量和共面练习.如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,,,,求证：⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC.OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD证明：∵四边形ABCD为①∴ACABAD（﹡）EGOGOEkOCkOA()kOCOAkAC（﹡）代入()kABAD()kOBOAODOAOFOEOHOE所以E、F、G、H共面。EFEH由面面平行判定定理的推论得：②EFOFOEkOBkOA()kOBOAkAB由①知EGkAC//EGAC//EFAB//EGAC面面证明：设11111CBaCDbCCc，，,则1112BCcaCOab，（）,例4.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥面ODC1.abc112ODODcbac（）,若存在实数,xy,使得11BCxODyOC成立，则11112222caxbacyabxyaxybxc（）（）（）（）∵abc，，不同面，∴121211011xyxxyyx（）（）即∴11BCODOC，∵11BCODOC，，为共面向量,且111BCODOCODC不在，所确定的平面内∴1111////.BCODCBCODC平面，即平面小结:1、本节课的重点内容是空间向量基本定理及推论.2、注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和；3、介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量法解立体几何问题的一项基本功。