不定积分的概念和性质

医用高等数学第二节换元积分法*第四节有理函数的积分第一节不定积分的概念和性质第三节分部积分法第四章不定积分医用高等数学第一节不定积分的概念和性质一、不定积分的概念三、不定积分的性质二、基本积分表医用高等数学一、不定积分的概念定义1若在区间I上，可导函数()Fx的导函数为()fx，即对任一xI，都有()()Fxfx或d()()dFxfxx则称函数()Fx为()fx在I上的原函数（primaryfunction）．33x是2x在(,)上的原函数；sinx是cosx在(,)上的原函数．(sin)cosxx例32()3xx医用高等数学若函数有原函数，显然其原函数不是唯一的．原函数存在定理：区间内的连续函数一定存在原函数．32(1)3xx，313x是2x的原函数；结论：33xC（其中C为任意常数）都是2x的原函数，而且也是它的全部原函数．例32(2),3xx323x是2x的原函数；医用高等数学证明设()x是()fx在I上的任意一个原函数，即对任一xI，都有[()()]xFx定理1若()Fx为()fx在区间I上的一个原函数，则()FxC（C为任意常数）就是()fx在I上原函数的全体．则()()xFx()()0fxfx.()()xFxC或()()xFxC，其中C为常数．由第三章拉格朗日中值定理的推论可知，()()xfx,医用高等数学定义2在区间I上，函数()fx的原函数的全体()FxC（C为任意常数）称为()fx在I上的不定积分（indefiniteintegral），记作()dfxx，即任意常数积分号被积函数()d()fxxFxC被积表达式积分变量医用高等数学32d3xxxCcosdsinxxxC由定义2，我们有医用高等数学根据不定积分的定义，可以得到如下关系式：()d()fxxfx或d()d()dfxxfxx．如果忽略常数C，不定积分运算与求导运算（或微分运算）互为逆运算．()d()FxxFxC或d()()FxFxC医用高等数学例1求1dxx．由1(2)xx，可得解1d2xxCx．医用高等数学例2求1dxx．0x时，解故1dln||xxCx．1(ln||)xx0x时，[ln()]x1(ln)xx；1()xx1x；即医用高等数学例3设曲线过点(1,2)，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程．解2()2dfxxxxC．21yx．根据题意知：d2dyxx，则因此所求曲线方程为而曲线过点(1,2)可知1C，设曲线方程为(),yfx医用高等数学函数2x的不定积分为22dxxxC，而2yxC的图形是一簇抛物线（图4-1）．图4-1医用高等数学函数()fx的不定积分()d()fxxFxC是一簇函数，()yFxC的图形是一簇曲线，这簇曲线称为积分曲线簇（familyofintegralcurve）．医用高等数学实例xx111d(1).1xxxC启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表医用高等数学基本积分表4.2darctan1xxCx；3.dln||xxCx；2.1d(1)1xxxC；1.1dxxC；6.cosdsinxxxC；5.2darcsin1xxCx；医用高等数学10.sectandsecxxxxC；9.22dcscdcotsinxxxxCx；8.22dsecdtancosxxxxCx；7.sindcosxxxC；13.dlnxxaaxCa．12.edexxxC；11.csccotdcscxxxxC；医用高等数学三、不定积分的性质性质1两个函数代数和的积分等于其各自积分的代数和，即[()()]d()d()dfxgxxfxxgxx..证明等式左边的导数为(()())d()()fxgxxfxgx医用高等数学等式右边的导数为显然，性质1对被积函数为有限多个函数的代数和时也成立.()d()dfxxgxx故性质1成立.()()fxgx()d()dfxxgxx医用高等数学性质2常数因子可由积分号内提出，即()d()dkfxxkfxx（0k为常数）．证明对该等式左、右两边分别求导，得()d()d()kfxxkfxxkfx，()d()kfxxkfx；由于两边的导数相等，故性质2成立.医用高等数学例4求32(1)dxxx．解322331dxxxxx231(3)dxxxx211d31d3ddxxxxxxx2133ln||2xxxCx．32(1)dxxx医用高等数学例5求3(46e2cos)dxxxx．解3(46e2cos)dxxxx46e2sinxxxC．34d6ed2cosdxxxxxx医用高等数学解例6求221d(1)xxxxx．2221dd(1)(1)xxxxxxxx211dd1xxxxarctanln||xxC．221d(1)xxxxx医用高等数学解例7求42d1xxx．42d1xxx222(1)(1)1d1xxxx221(1)d1xxx221ddd1xxxxx31arctan3xxxC．4211d1xxx医用高等数学解例8求2sind2xx．2sind2xx11dcosd22xxx．1(sin)2xxC1cosd2xx医用高等数学解例9求2tandxx．2tandxx2secddxxx．tanxxC2(sec1)dxx医用高等数学解例10求221dsincosxxx．221dsincosxxx2211()dcossinxxx．tancotxxC2211ddcossinxxxx2222sincosdsincosxxxxx说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.医用高等数学•基本积分表（1）•不定积分的性质•原函数的概念：()()Fxfx•不定积分的概念：()d()fxxFxC•求微分与求积分的互逆关系四、小结