考研概率论复习

二维随机变量及概率分布一、二维随机变量的联合概率分布表示(一).二维随机变量的联合概率分布函数1.概念设),(YX为一个二维随机变量，yx,为任两个实数，则称),(),(yYxXPyxF为),(YX的联合概率分布函数。2.性质(1).0),(yxF1(2).),(yxF关于x或y单调递增(3).),(F),(xF0),(yF，1),(F(4).),(yxF关于x或y右连续，即),0(yxF),(yxF，)0,(yxF),(yxF。(5).对于任意4个实数dcba,,,，其中dcba,，均有),(dbF),(cbF),(daF),(baF0如有),(yxF满足(1)～(5)，则),(yxF一定可成为某一个二维随机变量),(YX的联合概率分布函数。例：问),(yxF1011yxyx，能否作为某二维随机变量),(YX的联合概率分布函数？解：取)5.0,5.0(),5.0,4(),4,4(),4,5.0(DCBA，因)(BF)(AF)(CF)(DF010111，不能(二).二维离散型随机变量的联合概率分布表1.概念设),(YX为一个二维随机变量，且),(YX的取值仅有有限对数或可列对数，则称),(YX为二维离散型随机变量。二维离散型随机变量),(YX可用联合概率分布表或联合概率分布列表示。),(YX～或),(YX～,2,1,,),(jipyYxXPijji2.性质(1).0ijp(2).1,jiijp(三).二维连续型随机变量的联合概率密度函数1.概念设),(YX为一个二维随机变量，),(yxf为一非负函数，若对任意实数,,,,dcba其中),(dcba，事件),(dYcbXa的概率),(dYcbXaPdyyxfdxdcba),(，则称),(YX为二维连续型随机变量，称),(yxf为),(YX的联合概率密度函数。2.性质(1).0),(yxfXY1x2x…nx…1y11p12p…np1…………………my1mp2mp…mnp…………………(2).1),(dyyxfdx3.二维连续型随机变量的联合概率密度函数与联合概率分布函数的关系若),(YX的概率分布函数为),(yxF，),(YX的概率密度函数为),(yxf，则(1).),(),(yxfyxFxy(2).),(yxFdvvufduvx),(4.设),(21XXX的概率密度为),(21xxfX，若),(),(21222111xxgyxxgy具有唯一的反函数，),(),(21222111yyhxyyhx且),(211yyh，),(212yyh，),(211xxg，),(212xxg都有一阶连续偏导数，记22122111yxyxyxyxJ，),(),(21222111XXgYXXgY,则设),(21YYY的概率密度为),(21yyfY=JyyhyyhfX)],(),,([212211例：设二维随机变量),(VU～),21,1,4;2,2(NVYbVUX,问?b时，YX,独立？解：VYbVUX，且01101bJ，所以),(YX～二维正态分布，因此YX,独立等价于YX,不相关，从而等价于Cov),(YX=0Cov),(YX=Cov),(VbVU=Cov),(VU-bCov),(VV=Cov),(VU-bDV021b，.21b二、二维随机变量的边缘概率分布表示(一).二维随机变量的边缘概率分布函数若),(YX～),(yxF，则X～),()(xFxFX，Y～),()(yFyFY。(二).二维离散型随机变量的边缘概率分布表若),(YX～或),(YX～,2,1,,),(jipyYxXPijji则X～,2,1,)(ipxXPjijiY～,2,1,)(jpyYPiijj(三).二维连续型随机变量的边缘概率密度函数若),(YX～),(yxf，则X～)(xfXdyyxf),(，Y～)(yfYdxyxf),(。三、两个随机变量的独立性的判断1．若YX,的联合概率分布函数为),(yxF，边缘概率分布函数分别为)(xFX，)(yFY，则YX,相互独立的充要条件为：),(yxF=)(xFX)(yFY。2.若YX,的联合概率分布列为,2,1,,),(jipyYxXPijji边缘概率分布列为X～,2,1,)(ippxXPjiijiY～,2,1,)(jppyYPjiijj则YX,相互独立的充要条件为：XY1x2x…nx…1y11p12p…np1…………………my1mp2mp…mnp…………………),(jiyYxXP)(ixXP,2,1,,)(jiyYPj3.若YX,的联合概率密度函数为),(yxf，边缘概率密度函数分别为)(xfX，)(yfY，则YX,相互独立的充要条件为：),(yxf=)(xfX)(yfY。四.常用的二维随机变量1.二维均匀分布)(DU),(YX～)(DU，),(YX的概率密度函数为DSyxf1),(，Dyx),(2.二维正态分布),,,,(222121N(1).),(YX～),,,,(222121N，),(YX的概率密度函数为),(yxf=]})())((2)[()1(21exp{12122222112112221yyxx(2).若),(YX～),,,,(222121N，则X～),(211N，Y～),(222N。五．条件概率分布例1.设二维随机变量),(YX的联合概率密度函数为其它00),(xyeyxfx求(1).条件概率密度函数)(xyfXY，(2).条件概率)11(YXP解：(1).X的密度函数为X～)(xfXdyyxf),(，当0x，)(xfXdyyxf),(=00dy，当0x时，)(xfXdyyxf),(xxxxedye0，所以X～)(xfX000xxxex，所以，当0x时，)(xyfXY)(),(xfyxfX0001xxyx(2).Y的密度函数为Y～)(yfYdxyxf),(000yyey，)11(YXP)1()1,1(YPYXP111)(),(dyyfdyyxfdxY10100dyedyedxyxx12ee例2.设二维随机变量),(YX的联合概率密度函数为2222),(yxyxAeyxf，yx,求(1).A，(2).条件概率密度函数)(xyfXY解：(1).X的密度函数为X～)(xfXdyyxf),(dyeAyxyx2222dyeAxyx22)(dyeAexyx22)(2xeA又dxxfX)(dxeAx2Adxex21A，所以1A(2).)(xyfXY)(),(xfyxfX22222xyxyxeAAe2221xxyye六实例例1.设随机变量X和Y的联合分布是正方形}3,1),{(yxyxG上的均匀分布，试求随机变量YXU的概率密度)(uf。解：据题意，),(YX～其它03,141),(yxyxf。先求YXU的概率分布函数)(uF。显然20U，所以(1).0u，0)()()(uYXPuUPuF，(2).2u，1)()()(uYXPuUPuF(3).20u，)()()(uYXPuUPuFuyxdxdyyxf),(])2(4[412u，所以)(uf其它020)2(21uu。例2.设随机变量iX～25.05.025.0101，2,1i，且满足1)0(21XXP，求)(21XXP。解：先求),(21XX的联合概率分布列1X2X-101-10.2500.510.250.250.50.25因1)0(21XXP0)0(21XXP1X2X-101-1000.2500.51000.250.250.50.25由联合分布和边缘分布的关系得1X2X-101-100.2500.2500.2500.250.5100.2500.250.250.50.25所以0)(21XXP。例3.设随机变量X和Y的联合分布是矩形}10,20),{(yxyxG上的均匀分布，试求以YX,为边长的矩形面积S的概率密度)(sf。解：据题意，),(YX～其它010,2021),(yxyxf。先求XYS的概率分布函数)(sF。显然20S，所以(1).0s，0)()()(sXYPsSPsF，(2).2s，1)()()(sXYPsSPsF(3).20s，)()()(sXYPsSPsF)(1sXYPuxydxdyyxf),(1dydxxss12211)ln2ln1(2ss，所以)(sf其它020)ln2(ln21ss。例4.设二维随机变量),(YX的联合概率密度函数为其它00),(yxeyxfy(1).求随机变量X的概率密度函数)(xfX(2).求概率）（1YXP。解：据题意，),(YX～其它03,141),(yxyxf。先求YXU的概率分布函数)(uF。显然20U，所以(1).0u，0)()()(uYXPuUPuF，(2).2u，1)()()(uYXPuUPuF(3).20u，)()()(uYXPuUPuFuyxdxdyyxf),(])2(4[412u，所以)(uf其它020)2(21uu。例5.设二维随机变量),(YX的联合概率密度函数为其它01,04),(yxxyyxf求随机变量),(YX的概率分布函数),(yxF。解：其它01,04),(vuuvvuf，),(yxFdvvufduyx),((1).0x或0y，),(yxFdvvufduyx),(00dvduyx(2).1,0yx，),(yxFdvvufduyx),(22004yxdvuvduyx(3).10x且1y，),(yxFdvvufduyx),(21004xdvuvdux(4).10y且1x，),(yxFdvvufduyx),(20104ydvuvduy(5).1,yx，),(yxFdvvufduyx),(141010dvuvdu例6.设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0的指数分布，当三个电器元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T的概率分布。解：以iX表示第i个电器元件无故障工作的时间，则321,,XXX相互独立,其分布函数均为0001)(xxexFx且T),,min(321XXXT的概率分布函数为)()(tTPtF}),,{min(321tXXXP(1).0t，)()(tTPtF}),,{min(321tXXXP=0(2).0t，)()(tTPtF}),,{min(321tXXXP}),,{min(1321tXXXP),,(1321tXtXtXP