解对初值的连续性和可微性

第三章一阶微分方程解的存在唯一性定理Existence&UniquenessTheoremofFirst-OrderODE2019/11/261常微分方程-重庆科技学院-李可人§3.3解对初值的连续性和可微性/Continuousanddifferentiabledependenceofthesolutions/解对初值的连续性解对初值的可微性本节要求：1了解解对初值及参数的连续依赖性定理；2了解解对初值及参数的可微性定理。内容提要§3.3Continuity&differentiability2019/11/263常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3.1解对初值的对称性定理设f(x,y)于域D内连续且关于y满足利普希茨条件，),,(,),(0000yxxyGyx是初值问题00)(),,(yxyyxfdxdy的唯一解，则在此表达式中，与可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式§3.3Continuity&differentiability),(00yx),(yx),,(00yxxy2019/11/264常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3.2解对初值的连续依赖性定理假设f(x,y)于域G内连续且关于y满足局部利普希茨条件，),,(,),(0000yxxyGyx是初值问题00yxyyxfdxdy)(),,(的解，它于区间有定义，那么，对任意给定的，必存在正数，使得当bxa)(bxa00),,(ba2200200)()(yyxx时，方程满足条件的解00yxy)(),,(00yxxy在区间bxa也有定义，并且bxayxxyxx0000,),,(),,(§3.3Continuity&differentiability2019/11/265常微分方程-重庆科技学院-李可人引理如果f(x,y)在某域D内连续，且关于y满足利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解在它们公共存在区间成立不等式)()(xx及000xxLexxxx)()()()(其中为所考虑区间内的某一值。0x证明设在区间均有定义，令)(),(xxbxa2)]()([)(xxxVbxa不妨设因此，有()()xx§3.3Continuity&differentiability2019/11/266常微分方程-重庆科技学院-李可人则)]()()][()([)(xxxxxV2)],(),()][()([xfxfxx2)]()()][()([xxxxL2)(xLV20222LxLxexLVexV)()(于是02))((LxexVdxd因此，在区间[a,b]上为减函数，有LxexV2)(02()00()(),LxxVxVxexxb§3.3Continuity&differentiability2019/11/267常微分方程-重庆科技学院-李可人对于区间，并记令000txtxxxa,,则),(ytfdtdy并且已知它有解)(),(tyty类似以上推导过程，令2)]()([)(ttt)()(tt2attettttL0200,)()()(注意到)()()()(00xVtxVtxt及0200xxaexVxVxxL,)()()(因此0200()(),,LxxVxVxeaxbaxb两边取平方根，得000xxLexxxx)()()()(§3.3Continuity&differentiability2019/11/268常微分方程-重庆科技学院-李可人解对初值的连续依赖性定理的证明（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域因为，积分曲线段bxaxyxxyS:00),(),,(是xy平面上一个有界闭集，又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆使在其内函数f(x,y)关于y满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。设为圆的半径，表示f(x,y)于内的相应的利普希茨常数。,:GCC),,,(NiCi21iriCiLiC§3.3Continuity&differentiability2019/11/269常微分方程-重庆科技学院-李可人令,~iNiCG1则有,~GGS且的边界与S的距离。对预先给定的G~00若取),,,max(),min(NLLLL212及则以S上每一点为中心，以为半径的圆的全体，连同它们的圆周一起构成S的有界闭域，且f(x，y)GD在D上关于y满足利普希茨条件，利普希茨常数为L。§3.3Continuity&differentiability2019/11/2610常微分方程-重庆科技学院-李可人（二）解对初值的连续依赖性断言，必存在这样的正数),(),,(ba使得只要满足不等式2200200)()(yyxx则解必然在区间00yx,)(),,(xyxxy00bxa也有定义。由于D是有界闭区域，且f(x，y)在其内关于y满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为),,(00yxxy和))(,(cc,)),(,(dcdd这时必然有.,bdac§3.3Continuity&differentiability2019/11/2611常微分方程-重庆科技学院-李可人因为否则设则由引理,,bdacdxcexxxxxxL,)()()()(000由的连续性，对)(x,)(abLe211必存在,02使得当时有20xx10)()(xx取),,min(21则当2200200)()(yyxx022002xxLexxxx)()()()(0220000xxLexxxx)()()()(§3.3Continuity&differentiability2019/11/2612常微分方程-重庆科技学院-李可人022002xxLexxxx)()()()(0220000xxLexxxx)()()()(022002002xxLexxxx)()()()(222()1002Lbayye22()214Lbaedxc,于是)()(xx对一切成立，特别地有],[dcx)()(cc)()(dd即点和))(,(cc))(,(dd均落在D的内部，而不可能位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解在区间[a,b]上有定义。)(x§3.3Continuity&differentiability2019/11/2613常微分方程-重庆科技学院-李可人)()(xxdxc,在不等式中，将区间[c，d]换为[a，b]，可知，当2200200)()(yyxx时，有bxayxxyxx0000,),,(),,(定理得证。§3.3Continuity&differentiability2019/11/2614常微分方程-重庆科技学院-李可人的解作为的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值的连续性定理假设f(x,y)于域G内连续且关于y满足局部利普希茨条件，则方程),,(00yxxy),,(yxfdxdy00yxx,,§3.3Continuity&differentiability2019/11/2615常微分方程-重庆科技学院-李可人1.含参数的一阶方程表示)(),,(Eyxfdxdy,),(:GyxG2.一致利普希兹条件设函数),,(yxf一致地关于y满足局部利普希兹(Lipschitz)条件，为中心的球，使得对任何2121yyLyxfyxf),,(),,(其中L是与无关的正数。在内连续，且在内GG即对内的每一点都存在以成立不等式G),,(yx),,(yxGC),,,(1yx),,(2yx§3.3Continuity&differentiability2019/11/2616常微分方程-重庆科技学院-李可人由解的存在唯一性定理，对每一方程的解唯一确定。记为E),,,(000yxxy),(0§3.3Continuity&differentiability2019/11/2617常微分方程-重庆科技学院-李可人解对初值和参数的连续依赖性定理假设于域内连续，且在内关于y一致地满足局部利普希茨条件，),,,(,),,(000000yxxyGyx是方程通过点的解，在区间那么，对任意给定的，必存在正数bxa,bxa00),,(ba220200200)()()(yyxx时，方程满足条件的解00yxy)(),,,(00yxxy在区间bxa也有定义，并且bxayxxyxx00000,),,,(),,,(),,(yxfGGE),(00yx有定义其中使得当§3.3Continuity&differentiability2019/11/2618常微分方程-重庆科技学院-李可人的解作为的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值和参数的连续性定理),,,(00yxxy),,,(yxfdxdy,,,00yxx假设于域内连续，且在内关于y一致地满足局部利普希茨条件，则方程),,(yxfGG§3.3Continuity&differentiability2019/11/2619常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3.3解对初值的可微性定理的解作为的函数在它的存在范围内是连续可微的。若函数f(x,y)以及都在区域G内连续，则方程),,(00yxxy),,(yxfdxdy00yxx,,yf§3.3Continuity&differentiability2019/11/2620常微分方程-重庆科技学院-李可人解分别是下列初值问题的00yx,000(,)()(,)dzfxzdxyzxfxy0(,)()1dzfxzdxyzxxxdxyxfyxfx0000),(exp),(xxdxyxfy00),(exp)),,(,(00yxxxfx§3.3Continuity&differentiability2019/11/2621常微分方程-重庆科技学院-李可人证明yf由在区域G内连续，推知f(x,y)在G内关于y满足局部利普希茨条件。因此，解对初值的连续性定理成立，即),,(00yxxy下面进一步证明对于函数的存在范围内任一点的偏导数),,(00yxxy00yxx,,在它的存在范围内关于是连续的。存在且连续。00yxx,,§3.3Continuity&differentiability2019/11/2622常微分方程-重庆科技学院-李可人设由初值),,(),,(00000yxxxyyxxy和为足够小的正数）所确定的方程的解分别为,)(,(),(000000xyxxyx和即)(00dxx,fyxx)(000dxx,fyxxx于是)()(000dxx,fdxx,fxxxxx)()(0000dxyx,fdxx,fxxxxx)()(其中.10先证0x存在且连续。§3.3Continu