实验Z变换离散系统零极点分布和频率分析

1/11实验三Z变换、离散系统零极点分布和频率分析一、实验目的学会运用MATLAB求离散时间信号的z变换和z反变换；学会运用MATLAB分析离散时间系统的系统函数的零极点；学会运用MATLAB分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系；学会运用MATLAB进行离散时间系统的频率特性分析。二、实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。三、实验原理及实例分析（一）离散时间信号的Z变换1．利用MATLAB实现z域的部分分式展开式MATLAB的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num和den分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r为部分分式的系数向量，p为极点向量，k为多项式的系数向量。【实例3-1】利用MATLAB计算321431818)(zzzzF的部分分式展开式。解：利用MATLAB计算部分分式展开式程序为%部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[183-4-1];[r,p,k]=residuez(num,den)2．Z变换和Z反变换MATLAB的符号数学工具箱提供了计算Z变换的函数ztrans()和Z反变换的函数iztrans（），其调用形式为)()(FiztransffztransF2/11上面两式中，右端的f和F分别为时域表示式和z域表示式的符号表示，可应用函数sym来实现，其调用格式为AsymS式中，A为待分析的表示式的字符串，S为符号化的数字或变量。【实例3-2】求（1）指数序列nuan的Z变换;(2)2azazzF的Z反变换。解（1）Z变换的MATLAB程序%Z变换的程序实现f=sym('a^n');F=ztrans(f)程序运行结果为：z/a/(z/a-1)可以用simplify()化简得到:-z/(-z+a)（2）Z反变换的MATLAB程序%Z反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运行结果为f=a^n*n（二）系统函数的零极点分析1.系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即)()()(zXzYzH（3-1）如果系统函数)(zH的有理函数表示式为：3/1111211121)(nnnnmmmmazazazabzbzbzbzH（3-2）那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B与A分别表示)(zH的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将)(zH的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即：)())(()())(()(2121nmpzpzpzzzzzzzkzH（3-3）【实例3-3】已知一离散因果LTI系统的系统函数为16.032.0)(2zzzzH试用MATLAB命令求该系统的零极点。解：用tf2zp函数求系统的零极点，MATLAB源程序为B=[1,0.32];A=[1,1,0.16];[R,P,K]=tf2zp(B,A)R=-0.3200P=-0.8000-0.2000K=1因此，零点为32.0z，极点为8.01p与2.02p。若要获得系统函数)(zH的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语句格式为：zplane(B,A)其中，B与A分别表示)(zH的分子和分母多项式的系数向量。它的作用4/11是在Z平面上画出单位圆、零点与极点。【实例3-4】已知一离散因果LTI系统的系统函数为68.052.136.0)(22zzzzH，试用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。解：用zplane函数求系统的零极点，MATLAB源程序为B=[1,0,-0.36];A=[1,-1.52,0.68];zplane(B,A),gridonlegend('零点','极点')title('零极点分布图')程序运行结果如图3-1所示。可见，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是稳定的。2、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z变换建立了时域函数)(nh与z域函数)(zH之间的对应关系。因此，z变换的函数)(zH从形式可以反映)(nh的部分内在性质。我们仍旧通过讨论)(zH的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。【实例3-4】试用MATLAB命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应)(nh的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响。图3-1零极点分布图5/11（1）8.0)(1zzzH（2）8.0)(2zzzH（3）72.02.1)(23zzzzH（4）1)(4zzzH（5）16.1)(25zzzzH（6）2.1)(6zzsH（7）36.12)(27zzzzH解：MATLAB源程序为b1=[1,0];a1=[1,-0.8];subplot(121)zplane(b1,a1)title('极点在单位圆内的正实数')subplot(122)impz(b1,a1,30);gridon;figureb2=[1,0];a2=[1,0.8];subplot(121)zplane(b2,a2)title('极点在单位圆内的负实数')subplot(122)impz(b2,a2,30);gridon;figureb3=[1,0];a3=[1,-1.2,0.72];subplot(121)zplane(b3,a3)title('极点在单位圆内的共轭复数')subplot(122)impz(b3,a3,30);gridon;figureb4=[1,0];6/11a4=[1,-1];subplot(121)zplane(b4,a4)title('极点在单位圆上为实数1')subplot(122)impz(b4,a4);gridon;figureb5=[1,0];a5=[1,-1.6,1];subplot(121)zplane(b5,a5)title('极点在单位圆上的共轭复数')subplot(122)impz(b5,a5,30);gridon;figureb6=[1,0];a6=[1,-1.2];subplot(121)zplane(b6,a6)title('极点在单位圆外的正实数')subplot(122)impz(b6,a6,30);gridon;figureb7=[1,0];a7=[1,-2,1.36];subplot(121)zplane(b7,a7)title('极点在单位圆外的共轭复数')subplot(122)impz(b7,a7,30);gridon;7/11程序运行结果分别如图32的（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示。(a)(b)(c)8/11(d)(e)(f)9/11(g)从图3-2可知，当极点位于单位圆内时，)(nh为衰减序列；当极点位于单位圆上时，)(nh为等幅序列；当极点位于单位圆外时，)(nh为增幅序列。若)(nh有一阶实数极点，则)(nh为指数序列；若)(nh有一阶共轭极点，则)(nh为指数振荡序列；若)(nh的极点位于虚轴左边，则)(nh序列按一正一负的规律交替变化。（三）离散时间LTI系统的频率特性分析对于因果稳定的离散时间系统，如果激励序列为正弦序列)()sin()(nunAnx，则系统的稳态响应为)()](sin[|)(|)(nuneHAnyjss。其中，()jHe通常是复数。离散时间系统的频率响应定义为)(|)(|)(jjjeeHeH（3-4）其中，|)(|jeH称为离散时间系统的幅频特性；)(称为离散时间系统的相频特性；)(jeH是以s（Ts2，若零1T，2s）为周期的周期函数。因此，只要分析)(jeH在||范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。MATLAB提供了求离散时间系统频响特性的函数freqz，调用freqz的格式主要有两种。一种形式为[H,w]=freqz(B,A,N)图3-2系统函数的零极点分布与其时域特性的关系10/11其中，B与A分别表示)(zH的分子和分母多项式的系数向量；N为正整数，默认值为512；返回值w包含],0[范围内的N个频率等分点；返回值H则是离散时间系统频率响应)(jeH在~0范围内N个频率处的值。另一种形式为[H,w]=freqz(B,A,N,’whole’)与第一种方式不同之处在于角频率的范围由],0[扩展到]2,0[。【实例3-4】用MATLAB命令绘制系统8109.056.19028.096.0)(22zzzzzH的频率响应曲线。解：利用函数freqz计算出)(jeH，然后利用函数abs和angle分别求出幅频特性与相频特性，最后利用plot命令绘出曲线。MATLAB源程序为b=[1-0.960.9028];a=[1-1.560.8109];[H,w]=freqz(b,a,400,'whole');Hm=abs(H);Hp=angle(H);subplot(211)plot(w,Hm),gridonxlabel('\omega(rad/s)'),ylabel('Magnitude')title('离散系统幅频特性曲线')subplot(212)plot(w,Hp),gridonxlabel('\omega(rad/s)'),ylabel('Phase')title('离散系统相频特性曲线')程序运行结果如图3-3所示。11/11四、实验内容1、计算9.0||,))9.01()9.01(1)(121zzzzX的Z反变换。提示：b=1;a=poly([0.90.9-0.9]);[r,p,k]=residuez(b,a)因此得到9.0||9.0125.0)9.01(5.09.0125.0)(1211zzzzzX相应的)()9.0(25.0)1()9.0)(1(95)()9.0(25.0)(1nununnunxnnn2、已知某离散系统的系统函数为3.0005.05.012)(232zzzzzzH试用MATLAB求出该系统的零极点，并画出零极点分布图，求系统的单位冲激响应和幅频响应，并判断系统的是否稳定。五、思考题1、讨论极点与系统稳定性的关系？根据程序运行结果判断该系统的稳定性。2、根据实验程序的运行结果写出z反变换x(n)。图3-3离散系统频响特性曲线