[数学]数学期望

第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的数学期望；4.2随机变量的方差；4.3协方差和相关系数;本章内容：4.4矩与协方差矩阵.分布函数能完整地描述r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道r.v.的某些特征.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;又要看纤维长度与平均长度的偏离程度例如：考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与r.v.有关的某些数值，虽不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况——方差描述两r.v.间的某种关系的数——协方差与相关系数或者是：两个随机变量相依的程度。本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写一.数学期望(均值)的定义第一节数学期望直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。例如，1.假定发生意外的概率是0.001，则在购买保险的15,000人中，平均起来有多少个人需要赔偿？2.统计资料表明强烈地震的间隔服从参数430(天)的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？引例1设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100人数1691572则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即)(5.76271596110029078015709606401分数学期望——描述随机变量取值的平均特征1.离散型随机变量的数学期望引例2有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出甲射手击中环数X甲8910概率0.30.10.6乙射手击中环数X乙8910概率0.20.50.3问甲和乙谁的射击水平较高？问题：已知随机变量的概率分布,如何计算其平均值？解“射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可。分析：若甲射击N次,设击中8环,9环和10环的次数分别为次，则甲在N次射击中，平均每次击中的环数为123NNN、和1238910NNNN3128910NNNNNN1238910fff由于概率是频率的稳定中心，以表示甲的平均击中环数,则(EX甲）80.390.1100.69.3EX甲（）击中环数X甲8910概率0.30.10.6击中环数X乙8910概率0.20.50.380.90.100.9.1,EX乙（）２５３故认为甲射手的水平较高。由于EXEX乙甲（）（）,可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。定义设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk}=pk，k=1,2,3…1kkkpx1kkkxp1)(kkkpxXE若级数，则称级数和为随机变量X的数学期望（或均值），记作E（X）随机变量X的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求1kkkxp否则，称随机变量的数学期望不存在．关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数和不随级数中各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.(3)数学期望完全由随机变量的概率分布所确定.若服从某一分布也称是这一分布的数学期望.)(XEXX)(XE解易知X－13P0.40.6()10.430.61.4EX例1设随机变量X的分布列为求()EX若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则E(X)=1.4是指甲队平均每次可得分．解.以X记这个项目的投资利润。平均利润为：EX=5×0.3+0×0.6+(–10)×0.1=0.5，而同期银行的利息是10×0.02=0.2，因此从期望收益的角度应该投资这个项目。□利润50–10概率0.30.60.1例4.1.2假设某人有10万元，如果投资于一项目将有30%的可能获利5万，60%的可能不赔不赚，但有10%的可能损失全部10万元；同期银行的利率为2%，问他应该如何决策？例3设X~P(),求E(X).解X的分布律为!E(X)kekkk0.,,,,,!}P{X0210kkekk)!(111kekkeeE(X)=例2按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻8:10/9:108:30/9:308:50/9:50概率0.20.40.4某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望．解设乘客的候车时间为X,若该乘客8:20到车站,而8点到9点的一趟车已于8:10开走,第二趟车9:10开,则他候车的时间为50min，该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间X的分布列为10305070900.40.40.040.080.08XP对应的概率为事件“第一趟车8:10开走，且第二趟9:10开”发生的概率,即{50}0.20.20.04PX解候车时间X的分布列为10305070900.40.40.040.080.08XP从而该乘客候车时间的数学期望为()100.4300.4500.04700.08900.0830.8EX例2按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻8:10/9:108:30/9:308:50/9:50概率0.20.40.4某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望．求随机变量X和Y的数学期望．于是有解由(X,Y)的联合分布律可得关于X、Y的边缘分布分别为例3设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布表为12311/41/81/421/81/81/8XY125/83/8YP1233/81/43/8XP5311()12888EY313()1232848EX1111(),()iijjijijijEXxpEYyp11111(){}()jjjijjijjjiijEYyPYyypyp{,},,1,2,ijijPXxYypij11111(){}()iiiijiijiijijEXxPXxxpxp1{},1,2,iijjPXxpi定理1设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为则证明关于X的边缘分布为于是有同理可得定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分dxxxfXE)()(()xfxdx说明：如果积分不收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。dxxfx收敛，则称积分值为X的数学期望（或均值）。记作E(X)，即()xfxdx2.连续型随机变量的数学期望21(),-(1)fxxx201ln(1)x试证X的数学期望不存在．21d(1)xxx202d(1)xxx证因为例4设随机变量X服从柯西分布,其密度函数为()dxfxx()dxfxx即不收敛，所以X的数学期望不存在．例5设X服从指数分布，其概率密度为0,()(0)00,xxefxx求)(XE例4设X~U(a,b),求E(X).解dxxxf)(E(X)其它,0,1)(bxaabxf2badxabxbaX的概率密度为E(X)=1/例4.1.4假定乘客在公交车站等车的时间X(分钟)服从参数0.2的指数分布，p(x)=0.2e–0.2x，x＞0问这个人的平均等车时间是几分钟？解.平均等车时间即是数学期望EX，因此yyedy055xEXxpxdxxedx0.20()0.2□即平均需要等待5分钟。22/(1500),01500()(3000)/(1500),150030000,xxfxxx其它求X的数学期望.1500300022015003000-()()ddd15001500xxEXxfxxxxxx例5设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的时间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为5002000100015001500300032322015001500/3315001500xxx解由已知可得例:由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为1)若将5个装置串联成整机，求整机寿命N的数学期望；62)若将5个装置并联成整机，求整机寿命M的数学期望；解：的分布函数为1)由前面知的分布函数为：N的概率密度为：7并联的平均寿命是串联的11.4倍82)例6设二维连续型随机变量的概率密度函数为2,01,01(,)0,xyxyfxy其它解关于X、Y的边缘概率密度函数分别为103()(,)d(2)d2Xfxfxyyxyyx求E（X），E（Y）．于是有103()(,)d(2)d2Yfyfxyxxyxy(01)x(01)y123100335()()d24312xxEXxxx123100335()(-)d-24312yyEYyyy定理2设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y),则有()(,)dd,EXxfxyxy()(,)dXfxfxyy于是有()(,)ddEYyfxyxy证关于X、Y的边缘概率密度函数分别为()(,)dYfyfxyx()()d[(,)d]d(,)ddXEXxfxxxfxyyxxfxyxy()()d[(,)d]d(,)ddyEYyfyyyfxyxyyfxyxy3.随机变量函数的数学期望1()[()]().kkkEYEgXgxp如果级数1()kkkgxp收敛，则有定理3设X是随机变量，Y=g(X)是X的连续函数，则有{},1,2,,kkPXxpk(1)若为离散型变量，其概率函数为X(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),如果积分收敛()()gxfxdxdxxfxgXgEYE)()()]([)(则有例：设随机变量X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学期望Xpk-101313131Ypk01323132310321)(YE1)()(iiipxgYEiiipxYE2)(上式可见即一般的有.,0),('|)]([)(其它yyhyhfyfxYdyyhyhyfdyyyfxY|)('|)]([)()(yh.)()(|)('|)]([dxxfxgdyyhyhyfx)(yh.)()()()()(')]([dxxfxgdxxfxgdyyhyhyfx证明：设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章§5中定理的条件，由第二章知道随机变量Y=g(X)的概率密度为于是，E（Y）=当恒0时，E（Y）=当恒0时，E（Y）=(3)如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为P{X=xiY