三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

函数图像与性质知识点总结和经典题型1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32--2oyx2．三角函数的单调区间：求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，递减区间是23222kk，)(Zk；xycos的递增区间是kk22，)(Zk，递减区间是kk22，)(Zk，xytan的递增区间是22kk，)(Zk，3．对称轴与对称中心：sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0)kkZ；cosyx的对称轴为xk，对称中心为2(,0)k；tanyx无对称轴，对称中心为k2(,0)；对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。4．函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝最高点－最低点2；②B的确定：根据图象的最高点和最低点，即B＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝2πω(ω0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx＋φ＝0，x＝－φω)确定φ.5.三角函数的伸缩变化先平移后伸缩sinyx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位长度得sin()yx的图象()横坐标伸长(01)或缩短(1)1到原来的纵坐标不变得sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长(1)或缩短(01)为原来的倍横坐标不变得sin()yAx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象．先伸缩后平移sinyx的图象(1)(01)AAA纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sinyAx的图象(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()yAx的图象(0)(0)向左或向右平移个单位得sin()yAxx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象．6．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。7．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.8．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。9.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，.(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1).三角函数的图象及常用性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)四．典例解析题型1：三角函数的图象例1．（全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（）解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，2）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。题型2：三角函数图象的变换（四川）将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A）sin(2)10yx（B）ysin(2)5x（C）y1sin()210x（D）1sin()220yx解析：将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－10)再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210yx.题型3：三角函数图象的应用例1：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A0，ω0,0φπ2)的部分图象如图所示．求f(x)的解析式；解：由图可知A＝2，T4＝π3，则2πω＝4×π3∴ω＝32.又f(－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0∴sin(φ－π4)＝0∵0φπ2，∴－π4φ－π4π4∴φ－π4＝0，即φ＝π4∴f(x)＝2sin(32x＋π4)．例2．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，－π≤φπ)的图象如图所示，则φ＝________.解析：由图可知，T2＝2π－34π，∴T＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，∴y＝sin(45x＋φ)．又∵sin(45×34π＋φ)＝－1，∴sin(35π＋φ)＝－1，∴35π＋φ＝32π＋2kπ，k∈Z.∵－π≤φπ，∴φ＝910π.答案：910π例3．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π)的图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知T＝2(2π3－π6)＝π.∴ω＝2πT＝2，把点(π6，1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6.例4．(辽宁卷改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)＝________.解析：T2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2πT＝3.又(712π，0)是函数的一个上升段的零点，∴3×712π＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－π4＋2kπ，k∈Z，代入f(π2)＝－23，得A＝223，∴f(0)＝23..)0,0)(sin(.5求这个函数的解析式的图象的一部分，右图所示的曲线是例AxAy解：由函数图象可知22yox126522yox1265).32sin(2.32652065(22,)1265(34,2xyTA所求函数的解析式为，即第五个点，）是“五点法”作图的，又，即.)sin(6析式的图象的一段，求其解右图为例xAy：解1：以点N为第一个零点，则,3A,)365(2T)32sin(3.3026)0,6().2sin(3,2xyNxy所求解析式为点此时解析式为解2：以点)0,3(M为第一个零点，则,22,3TA解析式为),2sin(3xy将点M的坐标代入得,32032).322sin(3xy所求解析式为小结：的表达式：求函数)sin(xAy;.1由图像中的振幅确定A;.2由图像的周期确定代点法平移法常用的两种方法：求)2()1(.3题型4：三角函数的定义域、值域已知函数()2sin()cosfxxx.（1）求()fx的最小正周期；（2）求()fx在区间,62上的最大值和最小值.解：（1）∵2sincos2sincossin2fxxxxxx3yox3653NM3yox3653NM∴函数()fx的最小正周期为.（2）由2623xx，∴3sin212x，∴()fx在区间,62上的最大值为1，最小值为32.题型5：三角函数的单调性例．求下列函数的单调区间：ysin(2)6x+1解：因为函数sinyx的单调递增区间为2,2()22kkkZ，故222()262kxkkZ()36kxkkZ故函数sin(2)16yx的单调递增区间为[,]()36kkkZ