实验数据误差分析和数据处理

实验误差理论基础山东大学物理与微电子学院韩广兵绪论物理实验是研究自然现象、总结物理规律的基本方法，同时也是验证新理论的必经之路。物理实验大体分为下面几个步骤：a.要明确实验目的、内容、步骤，通过实验过程观察某些物理现象，测量某些物理量------观察和测量；b.测试计量是取得正确实验结果的关键一步，对测量量----准确记录计量结果；d.实验目的是为了从测得的大量数据中得到实验规律，寻找各变量间的相互关系------数据处理；c.任何测量都有误差，应运用误差理论估计判断测量结果是否可靠-----对计量结果误差分析和计算；e.最后写出测量结果-----结果表达。误差理论基础绪论主要内容：基本概念——物理实验和测量误差误差分类——偶然误差和系统误差误差计算——测量结果的不确定度数据格式——有效数字数据处理——用最二乘法作直线拟合误差理论基础一、物理实验和测量误差•测量就是将待测量与选做标准单位的物理量进行比较，得到此物理量的测量值。•测量值必须包括:数值和单位，如测量课桌的长度为1.2534m。测量的分类：按测量方式通常可分为：直接测量——由仪器直接读出测量结果的叫做直接测量如：用米尺测量课桌的长度，电压表测量电压等间接测量——由直接测量结果经过公式计算才能得出结果的叫做间接测量．如：测量单摆的振动周期T，用公式glT/2求得g按测量精度通常可分为：等精度测量——对某一物理量进行多次重复测量，而且每次测量的条件都相同(同一测量者，同一组仪器，同一种实验方法，温度和湿度等环境也相同)。不等精度测量——在诸测量条件中，只要有一个发生了变化，所进行的测量。由于测量方法、测量环境、测量仪器和测量者的局限性——误差的不可避免性，待测物理量的真值同测量值之间总会存在某种差异，这种差异就称为测量误差，定义为测量误差（δ）=测量值（X）-真值（a)测量结果也应包含测量误差的说明及其优劣的评价Y=N±ΔN误差理论基础误差理论基础真值就是与给定的特定量的定义相一致的量值。客观存在的、但不可测得的（测量的不完善造成）。可知的真值：a.理论真值----理论设计值、理论公式表达值等如三角形内角和180度；b.约定(实用)真值-----指定值,最佳值等，如阿伏加德罗常数,算术平均值当真值等。二、偶然误差和系统误差误差分类按其性质和原因可分为三类:系统误差偶然误差(随机误差)粗大误差误差理论基础误差理论基础1．系统误差：在重复测量条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减去真值来源：仪器、装置误差；测量环境误差；测量理论或方法误差；人员误差---生理或心理特点所造成的误差。标准器误差；仪器安装调整不妥,不水平、不垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂,分光计读数装置的偏心；附件如导线理论公式为近似或实验条件达不到理论公式所规定的要求温度、湿度、光照，电磁场等特点：同一被测量多次测量中，保持恒定或以可预知的方式变化（一经查明就应设法消除其影响）anx)(误差理论基础分类:a.定值系统误差-----其大小和符号恒定不变。例如，千分尺没有零点修正，天平砝码的标称值不准确等。b.变值系统误差----呈现规律性变化。可能随时间,随位置变化。例如分光计刻度盘中心与望远镜转轴中心不重合，存在偏心差发现的方法(2)理论分析法---理论公式和仪器要求的使用条件规律性变化(一致变大变小)一定存在着系统误差(1)数据分析法---观察随测量次序变化xxxii(3)对比法a.实验方法b.仪器c.改变测量条件误差理论基础处理:任何实验仪器、理论模型、实验条件，都不可能理想a.消除产生系统误差的根源(原因)b.选择适当的测量方法单摆g=(9.800±0.002)m/s2；自由落体g=(9.77±0.02)m/s2，其一存在系统误差如两个电表接入同一电路，对比两个表的读数，如其一是标准表，可得另一表的修正值。某些物理量的方向、参数的数值、甚至换人等误差理论基础1)交换法----如为了消除天平不等臂而产生的系统误差2)替代法----如用自组电桥测量电阻时3)抵消法----如测量杨氏模量实验中，取增重和减重时读数的平均值；各种消减系统误差的方法都具有较强的针对性，都是些经验型、具体的处理方法!!4)半周期法----如分光计的读数盘相对180°设置两个游标，任一位置用两个游标读数的平均值图中角度读数为：游标1读数:295+132'=29513′游标2读数:115+12'=11512′分光计读数方法示意图误差理论基础2．偶然误差（随机误差）：测量结果减去同一条件下对被测量进行无限多次测量结果的平均值来源：仪器性能和测量者感官分辨力的统计涨落，环境条件的微小波动，测量对象本身的不确定性(如气压小球直径或金属丝直径…)等．特点：个体而言是不确定的;但其总体服从一定的统计规律。处理：可以用统计方法估算其对测量结果的影响（标准差），不可修正，但可减小之。（下面讲）)(nxxi定义:在相同的条件下，由于偶然的不确定的因素造成每一次测量值的无规则的涨落，测量值对真值的偏离时大时小、时正时负，这类误差称为偶然误差．误差理论基础测量结果分布规律的估计—经验分布曲线[f(vi)---vi]测量列xi，n容量对大量数据处理时，往往对δi取一个单位Δδ(尽量小)，考虑δi落在第一个Δδ，第二个Δδ，第三个Δδ--的f(δi)，--〉经验分布曲线axiif(δi)---δi出现的概率正态分布均匀分布三角分布δi(单位)-0.2-0.10.00.10.2出现次数1020402010f(δi)0.10.20.40.20.1正态分布规律:大多数偶然误差服从正态分布(高斯分布)规律特点：1）有界性.2）单峰性.3）对称性.4）抵偿性.可以通过多次测量，利用其统计规律达到互相抵偿随机误差，找到真值的最佳近似值(又叫最佳估计值或最近真值)。niinn101lim误差理论基础222)(21)(axexf误差理论基础3．粗大误差：明显超出规定条件下预期的误差来源：使用仪器的方法不正确，粗心大意读错、记错、算错数据或实验条件突变等原因造成的（坏值）。处理：实验测量中要尽力避免过失错误；在数据处理中要尽量剔除坏值。实验中的异常值决不能不加分析地统统扔掉-----很多惊世发现都是超出预期的结果！！！误差理论基础精确度：用于表述测量结果的好坏1．精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。即是指在规定条件下对被测量进行多次测量时，所得结果之间符合的程度，简称为精度。2.正确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。它反映了在规定条件下，测量结果中所有系统误差的综合。3.准确度：表示测量结果与被测量的“真值”之间的一致程度。它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合。又称精确度。xxiax)()(axxxaxii误差理论基础a)精密度低,正确度高(b)精密度高，正确度低(c)精密度、正确度和准确度皆高三、测量结果的不确定度1．什么是不确定度测量结果写成如下形式：y＝N±△N(1.1)其中y代表待测物理量，N为该物理量的测量值，△N是一个恒正的量，称为不确定度，代表测量值N不确定的程度，也是对测量误差的可能取值的测度，是对待测真值可能存在的范围的估计．不确定度和误差是两个不同的概念:误差是指测量值与真值之差，一般情况下，由于真值未知，所以它是未知的．不确定度的大小可以按一定的方法计算(或估计)出来．误差理论基础2．测量结果的含义式y＝N±△N的含义是:待测物理量的真值有一定的概率落在上述范围内，或者说，上述范围以一定的概率包含真值．这里所说的“一定的概率”称为置信概率，而区间[N-ΔN，N+ΔN]则称为置信区间．在一定的测量条件下，置信概率与置信区间之间存在单一的对应关系：置信区间越大，置信概率越高，置信区间越小，置信概率越低．如果置信概率为100％，其对应的ΔN就称为极限不确定度，用e表示，这时式(1.1)写做Y＝N±e表示真值一定在[N-e，N+e]中．误差理论基础标准差用标准差σ来表示ΔN，这时式(1．1)写做Y＝N±σ．σ的大小标志着测量列的离散程度，置信概率为68.3％．其意义可表示为:待测量落在[N-σ,N+σ]范围内的可能性为68.3％．σ的大小是如何标志测量列的离散程度的?判断粗大误差的3σ原则(奈尔、格拉布斯等)误差理论基础要完整地表达一个物理量，应该有数值、单位和不确定度ΔN三个要素．相对不确定度为了比较两个以上测量结果精确度的高低，常常使用相对不确定度这一概念，其定义为相对不确定度=不确定度/测量值即ΔN／N．误差理论基础用米尺分别测量课桌长度(L=1210.5mm)和钢笔直径(d=10.1mm)，它们的测量极限不确定度均为e=1mm，比较以上两个测量结果精确度的高低误差理论基础（1）直接测量中不确定度的估算（a)多次测量：在相同条件下对一物理量X进行了n次独立的直接测量，所得n个测量值为x1，x2，…，xn，称其为测量列，标准不确定度参数：数学期望（算术平均值）和标准差niixnx11算术平均值niixaxn12)(1)(标准差测量列标准不确定度)()(1112实用niixxxn任一测量结果的误差落在[-σx，σx]范围内的概率为68.3%。3．不确定度的估计方法误差理论基础算术平均值的标准不确定度niixxxxnnn12)()1(1平均值的标准差算术平均值的误差落在[]范围内的概率为68.3%。xx,随n的增大而减小，但当n大于10后，减小速度明显降低，通常取5≤n≤10x误差理论基础（b)单次测量结果标准不确定度的估算：kee为极限不确定度（仪器的最大读数误差）k为分布系数，对于正态分布，k=3,σ=e/3；对于均匀分布，k=√3,即σ=e/√3；测量结果的表示:%)100()(xExxxx单位意义:真值a落在[]范围内的概率为68.3%。xxxx,误差理论基础例1用温度计对某个不变温度等精度测量数据如表，求测量结果。i1234567891011t(OC)528531529527531533529530532530531解:niitnt11=530.0909OCniittttnnn12)()1(1=0.5301OC%1000909.5305301.0%100tEt=0.1000017%=0.6OC=530.1OC=0.11%(%)11.0)(6.01.530ECto%)100()(xExxxx单位(2)间接测量结果不确定度的估计：设间接测量N=f（x，y，z…）量值：),,(zyxfN222222zyxNzNyNxNniixxxxnnn12)()1(1其中标准不确定度：误差理论基础相对不确定度：22222222NzNNyNNxNNEzyxN%100NENNNN单位测量结果的表示计算顺序：计算公式以加减运算为主，先算标准，再算相对不确定度；计算公式以乘除或乘方运算为主，先算相对，再算标准不确定度误差理论基础不确定度常用公式N=xk(k为常数)eN=|k|exσN=|k|σxN=kx(k为常数)N=xy或N=x/yeN=ex+eyN=x±y算数合成方式方和根合成方式函数表达式22yxN22yxNyxNyexeNeyxNxekNexNxkNxN误差理论基础误差理论基础例2测某立方体钢材的长宽高为l,b,h如表，材料的密度p=7.86gcm-3求其质量m。12345平均值li(mm)1483.71483.81483.91484.11484.01483.9bi(mm)47