同济大学高等数学第六版上册第五章第一节定积分的概念与性质

定积分的概念前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第二类基本问题——定积分，它是微分（求局部量）的逆运算（微分的无限求和——求总量），然后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。重点定积分的概念和性质，微积分基本公式，定积分的换元法和分部积分法难点定义及换元法和分部法的运用基本要求①正确理解定积分的概念及其实际背景②记住定积分的性质并能正确地运用③掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，并会用N-L公式计算定积分，④能正确熟练地运用换元法和分部积分法⑤正确理解两类广义积分概念，并会用定义计算一些较简单的广义积分。计算定积分实例1（求曲边梯形的面积）求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积将其置于直角坐标系下考察oxyabABmn问题归结为AmBbaA与AnBbaA的面积之差曲边梯形一、问题的提出曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.abxyo)(xfy?A用矩形面积近似取代曲边梯形面积abxyo（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系是越来越接近．曲边梯形如图所示abxyo,],[1210bxxxxxabann个分点，内插入若干在区间;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间i，上任取一点在每个小区间iiixx],[1ix1x1ix1nx为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxxiiixfA)(曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(1时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21nxxx曲边梯形面积为iniixfA)(lim10实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)(部分路程值某时刻的速度（2）求和iininiitvss)(11（3）取极限},,,max{21nttt路程的精确值iniitvs)(lim10（1）分割问题以上两个例子，一个是几何问题，求的是以曲线y=f(x)为曲边，以[a,b]为底边的曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时间区间[a,b]所走过的路程归纳它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）解决方法：通过局部取近似（求微分），求和取极限（微分的无限求和）的方法，把总量归结为求一种特定和式的极限类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念定义设函数)(xf在],[ba上有界，在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba怎样的分法，也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf二、定积分的定义在区间],[ba上的定积分，记为baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限积分区间],[ba积分和注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.（3）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，称)(xf在区间],[ba上可积.定理1当函数)(xf在区间],[ba上连续时，称)(xf在区间],[ba上可积.定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，且只有有限个间断点，则)(xf在区间],[ba上可积.三、存在定理,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值4321)(AAAAdxxfba1A2A3A4A四、定积分的几何意义积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(几何意义：.102dxx解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)取iix，(ni,,2,1)iinixf)(1iinix21,12iniixxnnini121niin12316)12)(1(13nnnn例1利用定义计算定积分,121161nnn0dxx102iinix210limnnn121161lim.31例2利用定义计算定积分10dxex解xexf)(在[0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积为方便计，将[0,1]n等分，左侧取点nxniii1,1niief1)(][1)(12101nnnniniieeeenxf等比数列nnneen111)(1111)1(1nenenn0,111lim1lim00xxxxeex11lim11lim01xxnnexenniiixf10)(lim11)1(lim1nnene1e例3.设函数)(xf在区间]1,0[上连续，且取正值.nnnnfnfnf21lim试证.10)(lndxxfe证明利用对数的性质得nnnnfnfnf21limnnnnfnfnfe21limln极限运算与对数运算换序得nnnnfnfnfe21lnlimnifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1指数上可理解为：)(lnxf在]1,0[区间上的一个积分和．分点为nixi，（ni,,2,1）因为)(xf在区间]1,0[上连续，且0)(xf所以)(lnxf在]1,0[上有意义且可积,nnifnin1lnlim110)(lndxxfnnnnfnfnf21lim.10)(lndxxfe故对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．说明定积分的性质一、基本内容badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.证badxxgxf)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10badxxf)(.)(badxxg（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1banibainiidxxfdxxf11)()]([性质2babadxxfkdxxkf)()((k为常数).证badxxkf)(iinixkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10.)(badxxfk性质1+性质2得：badxxgxf)]()([babadxxgdxxf)()(推广：baninibaiiiidxxfkdxxfk11)()]([即线性组合的定积分等于定积分的线性组合——说明定积分也具有线性运算性质假设bcabadxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,例若,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(则cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）性质3dxba1dxbaab.性质5（非负性）如果在区间],[ba上0)(xf，则0)(dxxfba.)(ba证,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0ix,0)(1iinixf},,,max{21nxxxiinixf)(lim10.0)(badxxf性质4例1比较积分值dxex20和dxx20的大小.,)(xexfx令]0,2[x,0)(xf,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx性质5的推论：（比较定理）则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba（1）如果在区间],[ba上)()(xgxf，（2）dxxfba)(dxxfba)(.)(ba说明：可积性是显然的.|)(xf|在区间],[ba上的解设M及m分别是函数)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值，则)()()(abMdxxfabmba.证,)(Mxfm,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba（此性质可用于估计积分值的大致范围）例2估计积分dxxx24sin的值.解,sin)(xxxf]2,4[x性质6（估值定理）2sincos)(xxxxxf2)tan(cosxxxx)(xf在]2,4[上单调下降,故4x为极大点，2x为极小点,,22)4(fM,2)2(fm,442ab,422sin4224dxxx.22sin2124dxxx0如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba积分中值公式证)()()(abMdxxfabmbaMdxxfabmba)(1由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）在区间],[ba上至少存在一个点，使,)(1)(badxxfabfdxxfba)())((abf.)(ba在区间],[ba上至少存在一个点，即积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。例3设)(xf可导，且1)(limxfx，求dttfttxxx2)(3sinlim.解由积分