平面的基本性质(1)

平面的基本性质一.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。二.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。观察思考三.平面的表示方法：αβABCD平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。如：平面α，平面β，平面ABCD等。四.平面的画法：（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：αβ通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：ABa点A在直线a上：记为：A∈a点B不在直线a上：记为：B∈a点A在平面α上：记为：A∈α点B不在平面α上：记为：B∈αABα(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：(3)直线与平面的位置关系：直线a上的所有点都在平面α上，称直线a在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：αa直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a与平面α相交。记为：a∩α＝AαaαAa例1.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B都在直线a上；（2）平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内且平行于直线m.αβmaαABa六.平面性质研究问题1泥匠如何检查墙面是否平整？木匠如何检查桌面是否平整？问题2如图，两个平面只有一个公共点，是吗？问题3照相机架为什么只有三只脚？自行车只用一只撑脚？观察思考?公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内αABl应用：1.判断点或直线在平面内的依据;2.判断点或直线共面的依据如果直线l上所有点都在平面α内就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直线l在平面α外AABB六.平面性质研究问题1泥匠如何检查墙面是否平整？木匠如何检查桌面是否平整？问题2如图，两个平面只有一个公共点，是吗？问题3照相机架为什么只有三只脚？自行车只用一只撑脚？观察思考?公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条经过这个公共点的直线。如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。PlβαAlA应用：判定两个平面有交线及交线位置的依据1.判定两个平面相交:如果两个平面有一个公共点,那么它们相交;2.判定点在直线上:点若是某两个平面的公共点,那么这点就在这两个平面的交线上;3.两平面两个公共点的连线就是它们的交线PlβαABCDA1B1C1D1O例2．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，画出平面A1C1D与平面B1D1D的交线.DABCE例3：如图画出平面与平面ADE的交线画出DE与平面的交点PA变式：如图，已知△ABC三边所在的直线分别交平面于点P、Q、R，求证：P、Q、R三点在同一直线上。BCQPR例4：已知：空间四边形ABCD，平面四边形EFGH的顶点分别在空间四边形的各边AD,AB,BC,CD上,若EF与GH不平行，求证：三条直线EF,GH,BD共点。方法小结六.平面性质研究问题1泥匠如何检查墙面是否平整？木匠如何检查桌面是否平整？问题2如图，两个平面只有一个公共点，是吗？问题3照相机架为什么只有三只脚？自行车只用一只撑脚？观察思考?公理3.经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.αACB观察下列问题，你能得到什么结论？BCA应用：确定平面的依据判定点或线的共面;推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。βaABC.AaAa直线有且只有一个平面，使得，数学语言表示:已知：点Aa求证：过点A和直线a有且只有一个平面.∵aA∴过不共线的三点A,B,C有一个平面（公理3）∵B∈，C∈∴a（公理1）∴过点A和直线a有一个平面证明:（存在性）（唯一性）推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.,在a上任取两点B、C，又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面只有一个∴经过a和点A的平面只有一个.aABC推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。βCab数学语言表示:.abCab直线有且只有一个平面，使得，推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。βACBab数学语言表示://.abab直线有且只有一个平面，使得，思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。例1：如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由.ABC共面证明：∵AB∩AC=A∴直线AB、AC确定一个平面∵B∈AB,C∈AC,C∈∴B∈∴BC(推论2)(公理1)∴直线AB、BC、CA都在平面内即它们共面ABC证法2：∵A直线BC∴过点A和直线BC确定平面∵A∈,B∈BC∴B∈,∴AB同理AC∴AB、AC、BC共面ABC∵A、B、C三点不在一条直线上证法3：∴过A、B、C三点可以确定平面(公理3)∵A∈,B∈∴AB(公理1)同理BC,AC∴AB、AC、BC共面ABC练1.直线l与过点P的三条直线a1,a2,a3分别交于A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证：这四条直线共面。αa3ACPa1a2B例2图条直线共面。四，E，F三点，求证这a，b，c分别交于D与直线，c互相平行，直线l练2.已知直线a，bαlDabcEF例3图1.如图找平面BA1C1与平面B1AC的交线练习：ABCDA1B1C1D12.P、Q分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1、CC1上的点，画出过B、P、Q三点的截面C1D1QABCDA1B1P小结1、平面的概念、平面的画法及其表示方法2、空间图形的点、线、面的基本位置关系及表示3、平面的基本性质公理1公理2公理3（3个推论）4、应用公理1：判断线面、点面位置关系证明线在面内、点在面内公理2：确定两个平面的交线确定直线与平面的交点位置证明三点共线、三线共点公理3：确定平面，证明唯一性。作业：教学与测试测试反馈