数学建模之减肥计划

一、问题背景随着生活水平的不断提高，肥胖症和减肥问题越来越引起人们的广泛关注。联合国世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI）为体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，固定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。据悉，我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24,30改为29。在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。目前各种减肥食品或药物数不胜数，各种减肥新法也纷纷登场。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家意见是只有通过控制饮食和运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。模型分析二、模型分析1体重变化由体内能量守恒破坏引起；2饮食（吸收热量）引起体重增加；3代谢和运动（消耗热量）引起体重减少；4通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标。三、模型假设1体重增加正比于吸收的热量————每8000千卡增加体重1千克；2代谢引起的体重减少正比于体重，每天每公斤体重消耗28.75千卡~45.71千卡（因人而异）；3运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4为了安全与健康，每天体重减少不宜超0.2千克，每天吸收热量不要小于p千卡(p因体重而异)。四、模型建立k：表示第几天ω（k）：表示第k天的体重C(k)：表示第k天吸收的热量α：表示热量转换系数[千卡）千克/(80001]:表示代谢消耗系数（因人而异）则在不考虑运动的情况下体重变化的基本方程：)()1()()1(kwkckwkw案例姓名身高（m）体重(kg)BIM每天吸收热量（体重保持不变）目标体重(kg)甲（男生）1.710034.6285775乙(女生)1.66023.4130050一、以甲为例：1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。第一阶段：每天减肥0.1429千克，每天吸收热量逐渐减少，直至达到下限（1429千卡）；第二阶段：每天吸收热量保持下限，减肥达到目标。2）若要加快进程，第二阶段增加运动。3）给出达到目标后维持体重的方案。减肥计划的制定1)首先应确定某甲的代谢系数。根据他每天吸收c=2857kcal热量，体重=100kg不变，由（1）式得-c，00357.0100/8000/2857/c相当于每天每公斤体重消耗热量2857/100=28.57kcal。从假设2可以知道，某甲属于代谢消耗相当弱的人。第一阶段要求体重每天减少b=0.1429kg，吸收热量减至下限,1429minkcalc即bkkbkk)0()(,)1()(由基本模型（1）式可得)1()0(])([1)1(kbwbkwkc将b,,的数值带入，并考虑下限minc，有c(k+1)=1713.8-4.081k1429得70k即第一阶段共70天第二阶段要求每天吸收热量保持下限minc，由基本模型（1）式可得min)()1()1(ackk（3）为了得到体重减至75kg所需的天数，将（3）式递推可得])1()1(1[)()1()(1nmnCkwnkwmmnCCkw])([)1(（4）已知90)(k，要求，）（75nk再以minc，，的数值代入，（4）式给出得到n=131，即每天吸收热量保持下限50)5090(7599643.0n1429kcal，再有131天体重减至75kg。为了加快进程，第二阶段增加运动。经调查资料得到以下各项运动每公斤体重消耗的热量(单位：kcal)：运动方式时间(分钟)306090120慢走1.432.864.925.72快走2.294.596.879.14滑冰2.515.017.5310.04游泳5.1010.2015.320.4篮球2.955.908.8511.80慢跑3.456.9010.3513.80中速跑5.0010.0015.0020.00乒乓球2.004.006.008.00羽毛球2.254.506.759.00自行车2.144.286.428.56记表中热量消耗，每天运动时间t，为利用基本模型（1）式，只需将改为t，即）（）（）（）（）（kt-1kack1k（6）若每天打一小时篮球，则t=5.90，t=0.0007375则（4）式中的=0.00357应改成t=0.0043,（5）式为5407.41)5407.4190(9957.075n（7）得到n=86若每天打羽毛球一小时，则t=4.50，t=0.0005625则（4）式中的=0.00357应改成t=0.0041,（5）式为2244.43)2244.4390(9959.075n（7）得到n=94通过增加适当的运动，可以缩短第二段的减肥时间：假如每天打篮球一小时，86天可以达到第二段减肥目标；假如每天打羽毛球一小时，94天可以达到第二段减肥目标。Matlab程序：n=0:1:131;w1=(0.99643.^n)*(90-50)+50;w2=(0.9957.^n)*(90-41.5407)+41.5407;w3=(0.9959.^n)*(90-43.2244)+43.2244;plot(n,w1,n,w2,n,w3)第三阶段最简单的是维持体重75kg的方案，是寻求每天吸收热量保持某常数c，使）（k不变。由（6）式得）（t-c/tc）（（8）若不运动，容易得出c=2142kcal若运动，容易得出c=2399kcal二、以乙为例：1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。第一阶段：每天减肥0.05千克，每天吸收热量逐渐减少，直至达到下限（857.4千卡）；第二阶段：每天吸收热量保持下限，减肥达到目标。2）若要加快进程，第二阶段增加运动。3）给出达到目标后维持体重的方案。减肥计划的制定1)首先应确定某乙的代谢系数。根据他每天吸收c=1300kcal热量，体重=60kg不变，由（1）式得-c，00271.060/8000/1300/c相当于每天每公斤体重消耗热量1300/60=21.67kcal。第一阶段要求体重每天减少b=0.05kg，吸收热量减至下限,4.857minkcalc即bkkbkk)0()(,)1()(由基本模型（1）式可得)1()0(])([1)1(kbwbkwkc将b,,的数值带入，并考虑下限minc，有c(k+1)=900-1.084k857.4得k40即第一阶段共40天第二阶段要求每天吸收热量保持下限minc，由基本模型（1）式可得min)()1()1(ackk（3）为了得到体重减至75kg所需的天数，将（3）式递推可得])1()1(1[)()1()(1nmnCkwnkwmmnCCkw])([)1(（4）已知58)(k，要求50nk）（再以minc，，的数值代入，（4）式给出50=0.99729n(58-39.548)+39.548得到n=210，即每天吸收热量保持下限857.4kcal，再有210天体重减至50kg。为了加快进程，第二阶段增加运动。运动方式时间(分钟)306090120慢走1.432.864.925.72快走2.294.596.879.14篮球2.955.908.8511.80慢跑3.456.9010.3513.80中速跑5.0010.0015.0020.00乒乓球2.004.006.008.00羽毛球2.254.506.759.00自行车2.144.286.428.56若每天慢跑一小时：记表中热量消耗，t=6.90，t=0.0008625，为利用基本模型（1）式，只需将改为t，即）（）（）（）（）（kt-1kack1k（6）则（4）式中的=0.00271应改成t=0.0036,（5）式为7708.29)7708.2958(9964.050n（7）得到n=92.若每天打羽毛球一小时，则t=4.50，t=0.0005625，为利用基本模型（1）式，只需将改为t，即）（）（）（）（）（kt-1kack1k（6）则（4）式中的=0.00271应改成t=0.0033,（5）式为4773.32)4773.3258(9967.050n得到n=114通过增加适当的运动，可以缩短第二段的减肥时间：假如每天慢跑一小时，92天可以达到减肥目标；假如每天打羽毛球一小时，114天可以达到减肥目标。Matlab程序：n=0:1:210;w1=(0.99729.^n)*(58-39.548)+39.548;w2=(0.9964.^n)*(58-29.7708)+29.7708;w3=(0.9967.^n)*(58-32.4773)+32.4773;plot(n,w1,n,w2,n,w3)第三阶段最简单的是维持体重50kg的方案，是寻求每天吸收热量保持某常数c，使）（k不变。由（6）式得）（t-c/tc）（（8）若不运动，容易得出c=1084kcal若运动，容易得出c=1320kcal任何减肥方法都是考虑和调节三个要素：节食是调节A、活动是调节B、减肥药是调节C。由于C是基础代谢和食物特殊动力的消耗，它不可能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人而言可以认为是一个常数，有大量事实表明，通过调整新陈代谢的方法来减肥是值得推敲的。于是我们有如下结论，减肥的效果主要由两个因素控制：进食摄取能量和活动消耗能量，从而减肥的两个重要措施是控制饮食和增加活动量。所以应该通过科学的减肥方法，制定有效、可行的计划，这样才能达到即减肥又有一个健康的身体。微分模型案例身高（m）减肥前体重(kg)BMI每天摄入能量（可保体重不变）目标体重（kg)甲1.710034.62867kcal75乙1.66023.43751300kcal50模型假设1、人体的脂肪是能量的主要存储和提供方式，而且也是减肥的主要目标，对于一个成年人来说，体重主要由四部分组成，包括骨骼肌肉水和脂肪，骨骼肌肉水，大体上可以看做是不变的，所以不妨以人体的脂肪的重量作为体重变化的标志，已知脂肪的转化率为100%，每千克的脂肪可转化为8000kcal的能量。2、忽略个体的差异对减肥的影响，人体体重仅仅看成时间t的函数w(t)3、由于体重的增加减少都是一个渐变的过程，所以w(t)是渐变的而且是光滑的4、正常代谢引起的体重减少正比于体重，每人每千克体重消耗热量一般为28.75~45.71kcal,且因人而异5、人每天摄入的能量是一定的，为了安全和健康，每天吸收的热量不要小于1429kcal6、运动引起的体重减少正比于体重模型建立符号说明：热量转化系数w(t):体重关于时间t的函数r：每千克体重每小时运动所消耗的能量(kcal/kg/h)b:每千克体重每小时基本代谢所消耗的能量(kcal/kg/h)A：减肥期间每天摄入的能量w(0):减肥前的体重问题分析：每天基础代谢的能量消耗为b24设每天运动时间为h小时，则每天运动消耗能量为R=rh在时t~t+t内，能量变化的基本规律为：w(t+t)-w(t)=[A-(+R)w(t)]t取t0，可得｛0)0()()(wwtwRAdtdw解得：（1）由于无运动，所以R=0，且摄入一定能量可保持体重不变，故可求出对甲：57.280wA对乙：0wA21.67由（1）解得t=以甲为例：从减肥前每天摄入的2857kcal到最终每天摄入的最低能量1429kcal，分为三个阶段：A（每天摄入能量kcal）目标体重（kg）