九年级数学上册专题突破讲练解直角三角形习题新版青岛版

1专题课件解直角三角形解直角三角形的基本类型以及解法图形已知类型已知条件解法步骤ABCabc两边斜边，一直角边（如c、a）①b＝c2－a2；②由sinA＝ac，求∠A；③∠B＝90°－∠A两直角边（如a、b）①c＝a2＋b2；②由tanA＝ab，求∠A；③∠B＝90°－∠A一边一角斜边，一锐角（如c，∠A）①∠B＝90°－∠A；②由sinA＝ac，求a＝c·sinA；③由cosA＝bc，求b＝c·cosA一直角边，一锐角（如a、∠A）①∠B＝90°－∠A；②由tanA＝ab，求b＝atanA；③由sinA＝ac，求c＝asinA方法归纳：（1）直角三角形中的五个元素：两条直角边，一条斜边，两个锐角。在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”即求出所有的未知元素。（2）直角三角形的特殊性质：①直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（3）直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积。总结：1.能够利用勾股定理、三角函数解直角三角形；2.会添加适当的辅助线构造直角三角形解决斜三角形的问题。例题如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1。2（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值。解析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD，然后根据BC＝BD＋DC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE＝CE－CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解。答案：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1。在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝13，AD＝1，∴AB＝ADsinB＝3，∴BD＝AB2－AD2＝22，∴BC＝BD＋DC＝22＋1；（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE＝12BC＝2＋12，∴DE＝CE－CD＝2－12，∴tan∠DAE＝DEAD＝2－12。点拨：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度中等，解答这类问题时注意将相关的边和角转化到相应的直角三角形中。解直角三角形时应注意以下问题：（1）在求解有关解直角三角形的问题时，要画出图形，以利于分析解决问题；（2）选择关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”；（3）遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形后再求解。总之，解直角三角形时，选择恰当的边角关系式尤为重要，恰当的边角关系不仅能使问题迅速解决，而且还会使计算简便、过程简捷，达到事半功倍的效果。解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”的原则。满分训练如图所示，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长。ABCD35解析：要求AD，需选择适当的三角形使AD为其一边，这样才能方便地运用有关知识处理问题，所以本题应考虑将AD构造成直角三角形的边。答案：设AD＝x。∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝120°，∴∠1＝∠2＝60°。∵S△ACD＋S△ADB＝S△ABC，作DH1⊥AB于H1，DH2⊥AC于H2，BH3⊥CA，交CA延长线于H3，则DH1＝DH2＝ADsin60°＝xsin60°，BH3＝3sin60°。∴12×5×xsin60°＋12×3×xsin60°＝12×5×3sin60°。解得x＝158，所以角平分线AD的长为158。3ABCD3512H1H2H3点拨：求钝角或锐角三角形中的边角时，常常作出垂直，构造直角三角形，得到边角之间的关系。（答题时间：）一、选择题1.△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是（）A.csinA＝aB.bcosB＝cC.atanA＝bD.ctanB＝b*2.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为32，则点P的个数为（）A.1B.2C.3D.4**3.如图，在Rt△ABO中，斜边AB＝1。若OC∥BA，∠AOC＝36°，则（）A.点B到AO的距离为sin54°B.点B到AO的距离为tan36°C.点A到OC的距离为sin36°sin54°D.点A到OC的距离为cos36°sin54°**4.在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E、F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：①若SABCDSBFDE＝2＋32，则tan∠EDF＝33；②若DE2＝BD•EF，则DF＝2AD。则（）A.①是真命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②是假命题ABCDEF4二、填空题5.在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝__________。ABC*6.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝35，BE＝4，则tan∠DBE的值是__________。**7.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE。已知AE＝5，tan∠AED＝34，则BE＋CE＝__________。**8.如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝2，BD是边AC上的高，利用此图可求得tan15°＝__________，BC＝__________。ABCD230°三、解答题9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠A＝25，求BC的长和tan∠B的值。10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长。*11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E。己知AC＝15，cosA＝35。5（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值。**12.如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是︵AB的中点，连接PA、PB、PC。（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：AC＝3AP；（2）如图②，若sin∠BPC＝2425，求tan∠PAB的值。61.A解析：∵a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°。sinA＝ac，则csinA＝a，故选项A正确；cosB＝ac，则ccosB＝a，故选项B错误；tanA＝ab，则atanA＝b，故选项C错误；tanB＝ba，则atanB＝b，故选项D错误。2.B解析：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠CDF＝90°－∠ADB＝45°，∵sin∠ABD＝AEAB，∴AE＝AB•sin∠ABD＝22•sin45°＝22•22＝2＞32，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为32的点2个；∵sin∠CDF＝CFCD，∴CF＝CD•sin∠CDF＝2•22＝1＜32，所以在边BC和CD上没有到BD的距离为32的点。总之，P到BD的距离为32的点有2个。3.C解析：点B到AO的距离是指BO的长，∵AB∥OC，∴∠BAO＝∠AOC＝36°，∵在Rt△BOA中，∠BOA＝90°，AB＝1，∴sin36°＝BOAB，∴BO＝ABsin36°＝sin36°，故选项A错误；由以上可知，选项B错误；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，∵∠BAO＝36°，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝54°，∵sin36°＝ADAO，∴AD＝AO•sin36°，∵sin54°＝AOAB，∴AO＝AB•sin54°，又∵AB＝1，∴AD＝AB•sin54°•sin36°＝1×sin54°•sin36°＝sin54°•sin36°，故选项C正确；由以上可知，选项D错误，故选C。4.A解析：①设CF＝x，DF＝y，BC＝h，则由已知菱形BFDE得，BF＝DF＝y，由已知得：（x＋y）hyh＝2＋32，化简得：xy＝32，即在△BFC中，cos∠BFC＝CFBF＝xy＝32，∴∠BFC＝30°。由已知得∠EDF＝30°，∴tan∠EDF＝33，所以①是真命题。②已知菱形BFDE，∴DF＝DE，S△DEF＝12DF•AD＝14BD•EF，又DE2＝BD•EF（已知），∴S△DEF＝14DE2＝14DF2，∴DF•AD＝12DF2，∴DF＝2AD，所以②是真命题。故选：A。5.6解析：过点A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，∵sin∠ABC＝ADAB＝0.8，∴AD＝5×0.8＝4，则BD＝AB2－AD2＝3，∴BC＝BD＋CD＝3＋3＝6。7ABCD6.2解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵cosA＝35，BE＝4，DE⊥AB，∴设AD＝AB＝5x，AE＝3x，则5x－3x＝4，x＝2，即AD＝10，AE＝6，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝102－62＝8，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝DEBE＝84＝2。7.6或16解析：①若∠BAC为锐角，如答图1所示：∵AB的垂直平分线是DE，∴AE＝BE，ED⊥AB，AD＝12AB，∵AE＝5，tan∠AED＝34，∴sin∠AED＝35，∴AD＝AE•sin∠AED＝3，∴AB＝6，∴BE＋CE＝AE＋CE＝AC＝AB＝6；②若∠BAC为钝角，如答图2所示：同理可求得：BE＋CE＝16。故答案为：6或16。8.23；62解析：在△ABD中，BD＝ABsin∠A＝2sin30°＝1，AD＝ABcos∠A＝2cos30°＝3。所以CD＝AC－AD＝AB－AD＝2－3，所以tan∠CBD＝CDBD＝2－3，∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝75°－60°＝15°，即tan15°＝2－3。BC2＝BD2＋CD2＝8－43＝（6－2）2，所以BC＝6－2。9.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝BCAB＝BC10＝25，∴BC＝4，根据勾股定理得：AC＝AB2－BC2＝221，则tanB＝ACBC＝2214＝212。10.解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，∴AD＝ABsin∠ABD＝12AB＝4，BD＝ABcos∠ABD＝32AB＝43。在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝43＋4。11.解：（1）在Rt△ABC中，cosA＝ACAB，∵AC＝15，∴AB＝ACcosA＝15×53＝25。又∵点D8是Rt△ABC斜边AB的中点，∴CD＝12AB＝252；（2）∵点D是AB的中点，∴△ACD、△BCD都是等腰三角形，∴∠ADC＝∠ACD，∠BCD＝∠CBD。∵∠ADC＝∠BDE＝90°－∠DBE，∠ACD＝90°－∠BCD＝90°－∠CBD，∴∠DBE＝∠CBD。∴sin∠DBE＝sin∠CBD＝ACAB=1525＝35。12.解：（1）∵∠BPC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝∠ABC＝60°，而点P是︵AB的中点，∴∠ACP＝12∠ACB＝30°，∴∠PAC＝90°，∴tan∠PCA＝PAAC＝tan30°＝33，∴AC＝3PA；（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连接OP交AB于E，如图，∵AB＝AC，∴AD平分BC，∴点O在AD上，连接OB，则∠BOD＝∠BAC，∵∠BPC＝∠BAC，∴sin∠BOD＝sin∠BPC＝2425＝BDOB，设OB＝25x，则BD＝24x，∴OD＝OB2－BD2＝7x，在Rt△ABD中，AD＝25x＋7x＝32x，BD＝24x，∴AB＝AD2+BD2＝40