海阔凭鱼跃天高任鸟飞中考数学压轴题解析及复习策略

海阔凭鱼跃天高任鸟飞———中考数学压轴题解析及复习策略青山湖教研室范云波问题的提出：中考数学压轴题的主要功能是对不同水平层次的学生进行区分和选拔，考查学生对核心知识、重要数学方法、数学思想的理解和掌握水平。近几年中考压轴题涵盖了方程、不等式、二次函数、相似、特殊四边形等核心知识，其中以二次函数为背景，结合相似、特殊四边形、方程的考题尤为突出，此类题多涉及图形变换，具有知识面广、解题方法多、技能和能力要求高、数学思想方法凸显等特点，中考要取得高分，攻克压轴题是关键。主要内容：一、压轴题的含义二、南昌市近几年压轴题考查情况分析三、压轴题三大内容及解题策略四、压轴题的复习策略五、压轴题复习的几个误区一、压轴题的含义广义地说中考压轴题是指一份试卷中比较难的题，往往是各大题中的最后一题。如选择题的最后一题，填空题最后一题，解答题的最后一题（或最后两题）。狭义地说中考压轴题是指在试卷最后面出现的大题目。这类题目一般分数多，难度大，考验综合能力强，在考试中能够拉开学生成绩，是很多学生和老师的重点钻研项目。例1（2013·南昌T12）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1x2,图象上有一点M（x0,y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（D）A．a0B．b2-4ac≥0C．x1x0x2D．a(x0-x1)(x0-x2)0.例2（2013·南昌T16）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是2，3，4．题号一123456789101112平均分2.272.362.532.572.402.221.932.541.871.981.511.35题号二三四五13141516171819202122232425平均分2.461.321.010.923.563.164.444.064.972.911.613.301.07例3（2013•南昌T24）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是①②③④（填序号即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：等腰直角三角形．（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．例4（2013•南昌T25）已知抛物线yn=﹣（x﹣an）2+an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An﹣1（bn﹣1，0）和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（9，9）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y=x；（3）探究下列结论：①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An﹣1An；②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．第24题分值分布0.00%5.00%10.00%15.00%20.00%25.00%30.00%0123456789101112比例第25题分值分布0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%60.00%70.00%0123456789101112比例第16题分值分布0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%0123比例压轴题形式：往往由三到四小问组成:第一小问为基础题，容易得分,得分率普遍在0.8以上第二小问为稍难,但通常还是属于常规题型,得分率在0.6与0.7之间,第三、第四小问为试卷中难度大的问题，能力要求较高,且得分率也大多在0.2与0.4之间.压轴题本质特征：在初中主干知识的交汇处命题，涉及的知识点多，覆盖面广；条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，方法灵活，渗透了重要的思想方法，体现了较高的思维水平。二、南昌市近几年中考压轴题分析2010年2011年2012年2013年12题函数图象问题12函数图象问题12函数的图象12二次函数图象20题投影16三角形16正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质16垂径定理；等边三角形的判定与性质．29题二次函数及平移25二次函数及四边形27二次函数综合题24四边形综合题30多边形旋转问题26相似三角形的判定与性质；一元一次不等式组的应用；勾股定理；等腰直角三角形28圆的几何综合题，折叠问题，解直角三角形25二次函数综合题近几年南昌压轴题分析1.压轴题往往赋予运动的背景（1）点的运动：涉及到一个点的运动和两个点的联动（2）图像的平移：有直线的平移和整支抛物线的平移（南昌2010T29、）。（3）旋转：三角形的旋转较多（南昌2010T30、南昌2011T25、南昌2012T16）（4）翻折：图形的折叠（南昌2012T28）对策：通过对图形的平移、旋转、轴对称，以及研究几何图形在运动变化中的不变量与变量的问题学习，运用运动的观点来分析图形，解决问题，特别要重视一些运动过程中的相互联系分析。近几年南昌压轴题分析2.压轴题几乎都涉及到函数（1）函数依然是2014年中考的热门知识点（南昌2010T12、2010T29、2011T12、2011T25、2012T12、2012T27、2013T12、2013T25）。（2）相似三角形在解题中也很关键（2011T26）。对策：（1）函数知识是初中数学的核心知识，函数部分的内容主要可归为以下三类：函数关系式的表示、函数的性质、函数的应用及函数思想的形成。（2）相似三角形由于对应边构成比例等式，使其成为初中数学中有关线段长度计算的重要途径和工具，主要知识内容包括：三角形相似的条件、利用相似比建立方程来解决问题中的中间量。3.压轴题主要涉及的数学思想方法：（1）方程的思想仍倍受青睐（南昌2010T29、南昌2011T25、南昌2011T26、南昌2012T27、南昌2013T25）。（2）分类讨论是近几年中考压轴题的“压点”所在（南昌2010T12、南昌2010T20、南昌2010T29、南昌2010T30、南昌2012T16、南昌2013T12、南昌2013T16）。对策：（1）压轴题中好多中间量的计算还是通过建立方程来解决。在学习中应建立起这样一个观念：将题目中的所有条件集中在一个图形中，通过勾股定理、相似三角形（南昌2011T26）、等积变形来建立方程。（2）分类讨论已成为中考压轴题的压点所在。在学习中应注重：必须确定分类标准，要正确进行分类，要不重复、不遗漏、分类之后还要注意能否继续分类，要注意讨论的层次要分明。近几年南昌压轴题分析三、压轴题主要考查的内容及策略（1）几何综合题。此类题设计新颖，大多数是牵涉到图形变换，其中以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角，而且几乎每份试卷都有。（2）规律探索或阅读理解题。这类题目本身蕴含着数学探索思想，给出一段文字或式子来理解推理，体现了从特殊到一般的发现规律，是中考的一个重难点。（3）函数与几何综合问题。（坐标系下）考查动点问题，求最值问题或存在性问题，此类题目考查的知识点多且繁，对综合能力有较高的要求。三大典型压轴题的解题策略中考数学压轴题近些年来与数形结合、动态几何、动手操作、实验探究、规律探索等方面密切联系。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括：空间观念、应用意识、推理能力等。从数学思想的层面上有：运动观点、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想等。这就要求学生具备扎实的基础知识和熟练的基本技能。几何综合题近几年的中考中，几何综合题通常以图形变换的形式出现，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。运动是为结果的静止服务的，解题时要做到“以静制动”。知识梳理:平移，我们简单地概括为：“一变，两不变，三对应，两相等，两平行”。即平移前后，一变：图形的位置发生了改变；两不变：形状和大小没有发生改变；三对应：对应点、对应角、对应线段；两相等：对应角相等、对应线段相等；两平行：对应线段平行、对应点所连的线段平行。旋转：我们将一个旋转中心、三个对应关系和五个相等关系概括为“一中心，三对应，五相等”。（每对对应点与旋转中心连线所成的角相等、对应点到旋转中心的距离相等、对应线段相等、对应角相等、图形的大小相等）2010T30图形的变换解题策略①要学会挖掘变换前后变与不变隐含的条件，善于处理五种关系：静与动的关系，位置关系，对应关系，相等关系，形状关系（南昌2010T30）。②构造定理所需的图形或基本图形。在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形（如倍长中线，南昌2013T24）。③用相似。压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往可根据题意去寻找相似三角形。④学习从复杂图形中分离出基本图形方法。由于图形变化的综合题往往作为压轴题，问题较多，图形复杂，要训练学生快速提炼出有用的图形来研究，排除其他图形的干扰（南昌2013T24）。⑤要教会学生大胆地让图形按照题意运动起来，细心观察到特殊位置，做出大胆猜想，运用已知条件进行验证，最后证明之（南昌2013T24、南昌2012T28）。图形的变换例题.如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图(2).（1）问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA；（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.图(1)BHFA（D）GCEC（E）BFA（D）图(2)图形的变换例题（南昌2012T28）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．相关知识①数列或式，常见数列的一般公式：等差数列和等比数列的通项公式，以及前n项和公式（南昌2013