2011年陕西高考文科数学试题及答案详解

-1-2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学（必修+选修Ⅰ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设,ab是向量，命题“若ab，则∣a∣=∣b∣”的逆命题是A．若ab，则∣a∣∣b∣B．若ab，则∣a∣∣b∣C．若∣a∣∣b∣，则abD．若∣a∣=∣b∣，则a=-b2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x，则抛物线的方程是A．28yxB．24yxC．28yxD．24yx3．设0ab，则下列不等式中正确的是A．2abababB．2abaabbC．2abaabbD．2ababab4．函数13yx的图像是5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A．283B．83C．8-2πD．236．方程cosxx在,内A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根-2-7．如右框图，当126,9,xx8.5p时，3x等于A．7B．8C．10D．118．设集合M={y|y=12cosx—2sinx|,x∈R},{|||1xNxi2,i为虚数单位，x∈R},则M∩N为A．（0,1）B．（0,1]C．[0,1）D．[0,1]9．设1122(,),(,),xyxy···，(,)nnxy是变量x和y的n次方个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是A．直线l过点(,)xyB．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为A．（1）和（20）B．（9）和（10）C．（9）和（11）D．（10）和（11）二、填空题。把答案填在答题卡相应题号后的横线上（共5道小题，每小题5分，共25分）11．设lg,0,()10,0,xxxfxx则f（f（-2））=______．12．如图，点（x,y）在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x-y的最小值为________．13．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为__________________．14．设n∈N,一元二次方程240xxn有整数根的充要条件是n=_____．15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式12xxa对任意xR恒成立，则a的取值范围-3-是__________。B．（几何证明选做题）如图，0,,90BDAEBCACD且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=_______．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A,B分别在曲线13cos:sinxCy（为参数）和曲线2:1C上，则AB的最小值为________．三、解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。17．（本小题满分12分）设椭圆C:222210xyabab过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标。-4-18．（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理。19．（本小题满分12分）如图，从点1(0,0)P做x轴的垂线交曲线xye于点1(0,1),Q曲线在1Q点处的切线与x轴交于点2P，再从2P做x轴的垂线交曲线于点2Q，依次重复上述过程得到一系列点：1122,;,......;,,nnPQPQPQ记kP点的坐标为(,0)(1,2,...,)kxkn．（Ⅰ）试求1x与1kx的关系(2)kn（Ⅱ）求112233...nnPQPQPQPQ20．（本小题满分13分）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间（分钟）10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164（Ⅰ）试估计40分钟内不能．．赶到火车站的概率;（Ⅱ）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;（Ⅲ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径。-5-21．（本小题满分14分）设()ln.()()()fxxgxfxfx。（Ⅰ）求()gx的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论()gx与1()gx的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得()()gagx＜1a对任意x＞0成立。-6-参考答案一、选择题1-10DCBBACBC二、填空题11．-212．113．5+6+7+8+9+10+11+12+13=8114．3或415．A,3B．2C．1三、解答题16．解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴当ΔＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，∵AD平面平面ABD．BDC.ABD平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DADB,DBDC,DCDA,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=2,从而1111,22DAMDBCDCASSS1322sin6022ABCS表面积：13333.222S17．解（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得2161b∴b=4又35cea得222925aba即2169125a，∴a=5∴C的方程为2212516xy（Ⅱ）过点3,0且斜率为45的直线方程为435yx，设直线与Ｃ的交点为Ａ11,xy，Ｂ22,xy，-7-将直线方程435yx代入Ｃ的方程，得22312525xx，即2380xx，解得13412x，23412x，AB的中点坐标12322xxx，1212266255yyyxx，即中点为36,25。注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。．解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有2222cosabcbcA，2222cosbcacaB，2222coscababC．证法一如图，2cBCACABACAB222ACACABAB222cosACACABAAB222cosbbcAc即2222cosabcbcA同理可证2222cosbcacaB，2222coscababC证法二已知ABC中,,ABC所对边分别为,,,abc，以A为原点，AB所在直线为x-8-轴建立直角坐标系，则(cos,sin),(,0)CbAbABc，22222222222||(cos)(sin)cos2cossin2cos.aBCbAcbAbAbcAcbAbcbcA同理可证2222222cos,2cos.bcaacBcababC19．解（Ⅰ）设11(,0)kkPx，由xye得111(,)kxkkQxe点处切线方程为111()kkxxkyeexx由0y得11(2)kkxxkn。（Ⅱ）由110,1kkxxx，得(1)kxk，(1)kxkkkPQee于是112233...nnnSPQPQPQPQ112(1)111...11nnneeeeeeee20．解（Ⅰ）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0．44．（Ⅱ）选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：所用时间（分钟）10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0．10．20．30．20．2L2的频率00．10．40．40．1（Ⅲ）A1，A2，分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站。由（Ⅱ）知P（A1）=0．1+0．2+0．3=0．6P（A2）=0．1+0．4=0．5，P（A1）P（A2）甲应选择L1P（B1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8P（B2）=0．1+0．4+0．4=0．9，P（B2）＞P（B1），∴乙应选择L2．21．解（Ⅰ）由题设知1()ln,()lnfxxgxxx，-9-∴21(),xgxx令()gx0得x=1，当x∈（0，1）时，()gx＜0，故（0，1）是()gx的单调减区间。当x∈（1，+∞）时，()gx＞0，故（1，+∞）是()gx的单调递增区间，因此，x=1是()gx的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1.g（II）1()lnxgxx设11()()()2lnhxgxgxxxx，则22(1)()xhxx，当1x时，(1)0h即1()()gxgx，当(0,1)(1,)x时(1)0h，因此，()hx在(0,)内单调递减，当01x时，()(1)0hxh即1()().gxgx当x1,()(1)0hxh时1()()gxgx即（III）由（I）知()gx的最小值为1，所以，1()()gagxa，对任意0x，成立1()1,gaa即ln1,a从而得0ae。