题型七-与解直角三角形有关的实际应用题

二、解答题重难点突破题型三与解直角三角形有关的实际应用题针对演练与方程（组）结合1.据悉，为了改善某地交通状况，市政府计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥.如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米，且河两岸3米高的矩形斜面的坡度为33.(1)求AB的长(结果精确到0.1米)；(2)为美化环境，需在河两岸的矩形斜面上各铺设150米长的绿化带，安排甲、乙两个工程队完成.甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2.若每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，绿化总费用为8万元，则甲、乙两个工程队各工作多少天？(参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)图①图②第1题图2.（2015资阳改编）北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作.如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米.(1)求该生命迹象所在位置C的深度.（结果精确到1米.参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，3≈1.7）(2)为了支援灾区，我校积极组织同学捐款，前后举行了三次捐款活动，每一次捐款数额增长比例相同，已知第一次捐款10000元，第三次捐款14400元，求捐款的平均增长率是多少？第2题图与不等式结合1.(2015自贡改编）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在距A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°,小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°.(1)请你根据这些数据算出河宽；（结果精确到0.01米.参考数据：2≈1.414,3≈1.732）(2)为了方便群众过河，政府计划在此处建一座桥，要求在20天内搭建完成桥梁铁架主体工程，问一天至少应搭建铁架多少米？第1题图2.(2016原创）酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，主楼梯宽2米，其侧面如图所示.(1)已知楼梯的坡度i=3∶4，求出需要的地毯的长度；(2)已知现有三种红色地毯可供选择：每平方米售价25元的，每平方米售价30元的，每平方米售价35元的，要把买地毯的资金控制在850元内，又尽可能买贵一点的地毯，应选择买哪种地毯较合适？第2题图与函数结合1.为绿化小区，在两幢楼AB和CD之间种树，小南现测量两楼之间的距离.如图，ＡＢ⊥BD,CD⊥BD,AB=15m,CD=20m,AB和ＣＤ之间有一景观池（长度为16米），小南在Ａ点测得Ｅ点的俯角为42°，在Ｃ点测得Ｅ点的俯角为45°（点Ｂ、Ｅ、Ｄ在同一直线上）.（1）求两幢楼房之间的距离BD;（结果精确到0.1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)（2）除去景观池外，在两楼之间的路上两旁每隔2米种一棵树，路两旁都种，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元，设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元.①求y与x之间的函数关系式；②若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.第1题图2.（2016原创）2015年4月18日潍坊国际风筝节拉开了帷幕，这天小敏同学正在公园广场上放风筝，如图风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小亮同学，发现自己的位置与风筝和广场边旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）在（1）的条件下，若在A处背向旗杆PQ测得风筝的仰角为60°，一会风筝断线落到了BA的延长线E处，测得AE=20米，同学发现风筝在空中降落的路线是一条抛物线，若以点Q为坐标原点，请求出这条抛物线的解析式.第2题图其他类型1.（2015泸州）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行.当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处.若该渔船的速度为每小时30海里.（1）在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近?(计算结果用根号表示，不取近似值)（2）当渔船航行到9:30时，接到台风紧急通知，要求渔船在20分钟内折返到观测点A避险，问渔船至少要按多少海里/小时的速度前往A处？第1题图2.(2015贵阳)小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处.已知斜坡的坡角为15°.（以下计算结果精确到0.1m，参考数据：sin15°≈0.26,cos15°≈0.97）（1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值;（2）小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度.第2题图3.（2015黄石）如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为103米，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE，在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）.（1）求AE的长；（2）已知旗杆上有一面旗在离地面1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？第3题图【答案】针对演练与方程（组）结合1.解：(1)设AD=x米，则AC=(x+82)米.在Rt△ABC中，tan∠BCA=ACAB＝tan68.2°≈2.5，∴AB=AC·tan∠BCA=2.5(x+82).在Rt△ABD中，tan∠BDA=ADAB=tan76.1°≈4.0，∴AB=AD·tan∠BDA=4x,∴2.5(x+82)=4x，解得x=3410，∴AB=4x=4×3410≈546.7.答：AB的长约为546.7米.(2)在Rt△EFG中，∵tan∠EFG=FGEG=33，EG=3，∴FG=33,∴EF=22FGEG=6，∴绿化的总面积为6×150×2=1800m2,设安排甲队工作x天，乙队工作y天，根据题意得：80.250.4180050100yxyx,解得1610yx，答：甲队工作10天,乙队工作16天.2.解：（1）如解图，作CD⊥AB交AB延长线于点D，设CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25°，∴tan25°=ADCD≈0.5，∴AD=0.5CD=2x．在Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan60°=BDCD=ABADCD-=4-2xx=3，解得x≈3．答：该生命迹象所在位置C的深度约为3米．（2）设捐款的平均增长率为x，由题意得：10000(1+x)2=14400，第2题解图解得x=0.2=20%或x=-2.2(舍去)答：捐款的平均增长率是20%.与不等式结合1.解：（1）过点C作CE⊥AD于点E，如解图，设CE=x，在Rt△AEC中,∠CAE=45°，AE=CE=x，在Rt△BEC中，∠CBE=30°，BE=3CE=3x，∴3x=x+50，解得x=253+25≈68.30.答：河宽为68.30米.(2)设一天应搭建铁架y米,则第1题解图20y≥253+25,解得y≥4535.答：一天至少应搭建铁架4535米.2.解：（1）设楼梯的高度为h米，由题意得，i=8h=43，∴h=6，∴需要的地毯的长度为6+8=14米.(2)设应购地毯的单价为x元/平方米，则14×2·x≤850，解得x≤30514,∵要把买地毯的资金控制在850元内，又尽可能买贵一点的地毯，∴应选择每平方米售价30元的地毯.与函数结合1.解：（1）由题意得：∠AEB=42°，∠DEC=45°.∵AB⊥BD,DC⊥BD,∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB=42°，∵tan∠AEB=BEAB=tan42°,∴BE=tan4215≈15÷0.90＝350.在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∵∠DEC=∠DCE=45°，CD=20，∴ED=CD=20，∴BD=BE+ED=350+20≈36.7(m).答：两幢楼房之间的距离BD约为36.7m.（2）①∵每隔2米种一棵树，景观池长为16米，则路长为36.7-16＝20.7米，∴需要的树的数量为220.7×2≈21棵，∴y＝90（21-x）+70x＝-20x+1890.②∵购买B种树苗数量少于A种树苗数量，∴x21-x，解得x10.5,又∵x≥1，∴x的取值范围为1≤x≤10，且x为整数.∵y=-20x+1890，k=-200，∴y随x的增大而减少，∴当x＝10时，y有最小值，且最小值为:-20×10+1890＝1690.∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗12棵，所需费用为1690元.2.解：（1）在Rt△BPQ中，PQ=10，∠B=30°，∴BQ=tan60°×PQ＝103,又∵在Rt△APQ中，∠PAQ=45°，∴AQ=tan45°×PQ=10，∴AB=BQ+AQ=（103+10）（米）.（2）过点C作CF⊥BD于点F，如解图所示，∵∠CAD=60°，∠B=30°,∴∠BCA=30°，∴AC=AB=（103+10）,在Rt△ACF中，∠CAF=60°，AC=103+10，∴AF=sin30°×AC=21(103+10)=53+5，第2题解图CF=sin60°×AC=23（103+10）=53+15,∴QF=AQ+AF=53+15，QE=AQ+AE=30,∴点C的坐标为(53+15，53+15)，点E的坐标为(30，0)，设这条抛物线的解析式为：y=a(x-53-15)2+53+15，把E(30，0)代入，得a=-30935,∴抛物线的解析式为：y=-30935(x-53-15)2+53+15(53+15≤x≤30).其他类型1.解：（1）过点A作AP⊥BC,垂足为P，设AP＝x.在Rt△APC中，∵∠APC＝90°，∠PAC＝30°，∴tan∠PAC＝APCP,∴CP=AP·tan∠PAC=33x.在Rt△APB中，∵∠APB＝90°，∠PAB＝45°，∴BP=AP=x.∵PC+BP=BC=30×21＝15,∴33x+x=15,解得x=2)3-15(3,∴PB=x=2)3-15(3,第1题解图∴航行时间为2)3-15(3÷30＝43-3(小时).答：该渔船从B处开始航行43-3小时，离观测点A的距离最近.（2）由（1）可得，CP=33x=2)3-15(3×33=21)-315(,PA=x=2)3-15(3，∴AC=22APPC=15-315,设渔船至少要按x海里/小时的速度前往A处,由题意得，6020x≥15-315,解得x≥45-345,答：渔船至少要按(45-345)海里/小时的速度前往A处.2.解：(1)在Rt△BCD中，∠C=90°，∠CBD=15°，BD=20m，∴sin∠CBD=BDCD≈0.26,即CD=BDsin∠CBD≈5.2m.(2)如解图，作EF⊥AB,DH⊥AB,垂足分别为F,H，则FH=ED=1.6m,在Rt△BCD中，∵∠C=90°，∠CBD=15°，BD=20m，又∵cos15°=BDBC≈0.97,即20BC≈0.97,解得BC≈19.4m,∴EF=BC≈19.4m,在Rt△AEF中，∵∠AEF=45°,∠AFE=90°，∴AF=EF=BC≈19.4m,∴AB=AF+FH+BH≈19.4+1.6+5.2=26.2m,即楼房AB的高度约为26.2m.第2题解图3.解：（1）∵BG∥CD,∴∠GBA＝∠BAC=30°，又∵∠GBE＝15°，∴∠ABE=45°，∵∠EAD=60°，∴∠BAE＝90°，∴∠AEB＝45°，∴AB=AE＝103，∴AE的长