1.平面的概念及表示

2.1.1平面一、平面的特征“平面”是最基本的几何概念，对它只能描述而不加定义。特点：“平”,“无限伸展”,“无大小”,“无厚薄”【练习】判断下列说法是否正确？(1)平行四边形是一个平面.(2)一个平面的面积是100cm2.(3)两个平面叠在一起比一个平面厚.(4)一个平面把空间分成了两部分.×××√二、平面的表示方法αβ1几何表示：一般用平行四边形表示;但在特殊情况下,也可以用三角形或其它图形来表示.注意：(1)当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长；(2)画直线与平面或平面与平面相交时，被遮挡的部分画成虚线或不画。αβPl.α2字母表示：①用希腊字母α,β,γ…来表示;例:平面α(注意:“平面”二字不能省略)②用图形的顶点字母来表示;例:平面ABCD;③用平行四边形的一条对角线的顶点字母来表示;例:平面AC;αADCB二、平面的表示方法长方体是我们非常熟悉的空间几何图形，有8个顶点，12条棱，6个面。你能发现图中的点、线、面之间有哪些位置关系呢？请举例说明.D1ABCDA1B1C1三、点、线、面的基本位置关系的符号表示从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系亦可借用集合中的符号来表示。图形语言符号语言文字语言(读法)点A在直线a上点A不在直线a上·Aaa·AAaA∈a图形语言符号语言文字语言(读法)直线a、b相交于点A·AAA点在平面内·AAA点不在平面内·AababAaaa直线在平面内图形语言符号语言文字语言(读法)aa·AaAaA直线与平面相交于点a直线与平面无公共点lll平面、相交于直线//a例1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系αβaABαβabllBaAal,,,)1(:中在解PblPalbal,,,,,)2(中在四、练习:1.将下列文字语言转化为符号语言：(6)点A在平面α内，但不在平面β内；(7)直线a经过平面α外一点M；(8)直线l在平面α内，又在平面β内。(1)点A、B在直线a上；(2)点C在平面α内；(3)直线a在平面α内；(4)点O不在平面α内；(5)直线b不在平面α内；aBaA,CaObAA,MaM,ll,长方体是我们非常熟悉的空间几何图形.你能发现图中的点、线、面之间有哪些位置关系呢？D1ABCDA1B1C1例2三个平面可以将空间分为多少部分？4或6或7或8部分αβABlαβαβABl作业：P511、2、8平面P51作业lABCD1.2ABAB8.解:共分为:3×9=27部分.桌面AB观察下图，你能得到什么结论？桌面ABABl观察下图，你能得到什么结论？公理1如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).桌面AB观察下图，你能得到什么结论？ABl一、平面的基本性质公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.αAB说明：①也叫做直线在平面内或平面经过直线。②这是判断一条直线是否在平面内的依据③用图形表示时,表示直线的线段一定要画在表示平面的平行四边形内部.图形表示,.1,,AlBlABl且公理观察下图，你能得到什么结论？BCABCABCA观察下图，你能得到什么结论？公理2过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.BCABCA观察下图，你能得到什么结论？公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.说明：①可以叙述为:不共线的三点确定一平面；②这是确定一个平面的依据;③“有且只有”和“确定”的含义包括两方面,一是存在性,二是唯一性;④这三点必须是不共线的;图形表示：α.C.B.A【练习】判断下列说法是否正确？(1)三点确定一个平面;(2)一个圆周上的三点可以确定一个平面;(3)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面就重合;×√√公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.α.C.B.A推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。ABCCABABC公理2经过不共线的三点，有且只有一个平面。...ABCα公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过公共点的公共直线图形表示：αβPl.,.3,PPlPl公且且理①这条公共直线叫做这两个平面的交线,称这两个平面相交,记作α∩β=l.说明：②这是判断两个平面相交的依据.【练习】1.判断下列说法是否正确？(1)两个平面相交至少有两个公共点;(2)两个平面相交,它们只有有限个公共点;(3)过一条直线的平面有无数个;(4)两个平面的交线可能是一条线段;(5)两个相交平面有不在同一直线上的公共点;(6)两个平面有无数个公共点,则它们重合。图形表示：,.3,PPlPl公且且理αβPl.×√×××√判断题：（1）经过空间中一个点和一条直线只能作一个平面。（）（2）若平面和有一条公共直线L和一个公共点P，则P；()（3）三条直线两两相交，则它们在同一个平面内（）（4）三条直线两两平行，则它们在同一个平面内（）（5）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合（）L╳√╳╳╳二、选择题1．经过同一条直线上三个点的平面（）A有且只有1个B有且只有3个C有无数个D只有0个2．直线a、b、c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面共有（）A1个B3个C0个D6个3．过不共面的4个点中的3个点的平面共有（）A0个B3个C4个D无数个4．空间可以确定一个平面的条件是（）A两条直线B一点和一直线C一个三角形D三个点CBCC5．已知平面α与β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有（）A1条或2条B2条或3条C1条或3条D1条或2条或3条C7．下列说法中正确的是（）A空间的三个点确定一平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D六边形一定是平面图形8．下列的命题1）两条直线确定一个平面，2）点A在平面α内，也在直线a上，则直线a在平面α内，3）平面α和β相交于不在同一条直线上的三个点A、B、C；4）三条直线两两平行，则最多可确定三个平面。其中正确的有（）A0B1C2D3CB2.小结:平面的基本性质:公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论2两条相交直线确定一个平面。推论3两条平行直线确定一个平面。推论1一条直线和外一点确定一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过公共点的公共直线3、练习：P.43：练习：1、2、3、(2)描述三个公理的三种语言：文字语言、图形语言、符号语言。4、作业：P.51习题2.1：3(1)、(2),7再见!要努力啊5.空间平行线的传递性公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行即a∥b,b∥c,则a∥c说明:公理4是判断空间两直线平行的依据例1如图，定义:若A、B、C、D四点不共面，顺次连接四点得四边形ABCD是称作空间四边形。若空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形若再加条件AC=BD，则四边形EFGH是什么图形？.,)2(;:)1(.2,21,,,,,,,,:.8的中位线长求梯形若是梯形求证且上的点是分别中空间四边形已知EFGHaBDEFGHGDCGFBCFHDAHEBAEDACDBCABHGFEABCDABDCEHFG例:请你作出长方体ABCD-A1B1C1D1两个对角面AA1C1C和BB1D1D的交线.D1ABCDA1B1C1O1O解:设AC与BD相交于O,A1C1与B1D1相交于O1,连结OO1,即为所求.证明:一、共线问题：证明A、B、C三点共线，一般先证直线AB是平面α、β的交线；再证点C是α与β的公共点，从而点C在AB上，所以A、B、C三点共线。ABCαβ例4.若空间四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA上各有一点P、Q、R、S，且直线PS与QR交于点K，求证：B、D、K三点共线。ABCDPSQRK二、共点问题：.,,),(,,,3321321常常为两个平面的交线而上在再证点交于一点如直线一般先证明其中两条共点证明三线llAAlllllL3L1L2A空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EH和FG交于P点，求证:EH、FG、BD三线共点.例5AEFBHDGCP三、共面问题：例6.过直线l外一点引两条直线PA、PB和直线l分别相交于A、B两点，求证：三条直线PA、PB、l共面。三、共面问题：例7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB、AA1的中点，求证：（1）E、C、D1、F四点共面；（2）CE、D1F、DA三线共点。作业：P5323