第章--自由曲线和自由曲面

计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面第7章自由曲线和自由曲面概述现代产品设计中，对于诸如飞机、汽车、船舶等具有复杂曲面外形的产品，需要使用自由曲线和自由曲面来描述其几何形状，以满足产品在流体动力性能和造型方面的要求。对一般工业和民用产品而言，由于市场竞争的加剧，在满足功能需要的前提下，以产品的造型为代表的非功能性因素，对消费者购买趋向的影响越来越大。因此，产品设计比以往更注重造型设计，也使自由曲线和自由曲面的应用领域更加广泛。曲线和曲面功能是目前大多数商用CAD系统（尤其是中、高端系统）的重要组成部分，是应用CAD技术进行产品造型设计的重要手段之一。对使用各种CAD系统的工程技术人员来说，了解和掌握有关自由曲线与自由曲面的基本知识，是熟练运用相关工具的基础和前提。计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面曲线曲面的分类曲线曲面规则曲线曲面——自由曲线曲面——可以用标准方程描述的曲线曲面。如圆、椭圆、抛物线、双曲线、渐开线、摆线、圆柱面，圆锥面，球面等无法用标准方程描述的曲线曲面，通常由一系列实测数据点确定。如汽车的外形曲线曲面、飞机的外形曲线曲面等。计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面汽车的曲面计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面飞机的曲面计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面本章要点1.了解自由曲线的数学表达方式2.了解自由曲线中的一些基本术语控制点、型值点、插值点插值、逼近、光顺、拟合3.掌握埃尔米特曲线（Hermite）、贝塞尔曲线（Bezier）、B样条曲线的数学机理和特点计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面7.1基本概念一．曲线和曲面的数学表示数学上通常用3种方式表示曲线和曲面。显式表示隐式表示参数方程表示在自由曲线和曲面的构造中会涉及到曲线、曲面的数学表示以及相关基本术语，了解这些基本概念将有助于深入学习和理解自由曲线和曲面的构造原理与方法。7.1.1曲线和曲面的数学表示计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面1.显式表示：①平面曲线I.直线II.圆（圆心[R,0]，半径R）②空间曲线（很少有）),(yxfzbaxy)(xfycos2R计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面0),,(zyxF2.隐式表示：①平面曲线I.直线II.圆②空间曲线I.球0),(yxF0cbyax2222rzyx222ryx计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面3.参数方程表示：•直线（过两点）•圆)()()(tzztyytxx]20[0)(sin)(cos)(ttzztRtyytRtxx]10[0)()()()()(121121ttzztyyytyytxxxtxx002211yxyx、计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面参数方程表示时，曲线上一点常用位置矢量表示为：参数曲线在该点的切矢量表示为（导函数）：CAD中主要采用参数方程表示法来描述自由曲线和自由曲面。][')'(')'(')'('battzztyytxx)()()()(tztytxtP)(')(')(')('tztytxtP计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面二．参数方程规格化处理（规范法表示）1.规格化的原因①研究范围：我们不可能，也没有必要去研究的整条曲线，而往往只对其中的一部分感兴趣。②便于计算机数据处理：为了便于计算机数据处理，对参数变量的取值范围进行规格化变换，使变换成闭区间内。]['bat]['t't]['bat]10[t计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面2.规格化的方法•原参数方程为•规格化变换•变换后参数方程为][')'(')'(')'('battzztyytxx]10[)()()(ttzztyytxx))((')())((')())((')(tabaztztabaytytabaxtx令等比变换tabatabatt)(''010计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面三．用参数方程描述自由曲线和曲面的优势：1.用参数表示的曲线形状与坐标系的选取无关，具有几何不变性。例如，如果通过一系列型值点拟合一条曲线或由一系列控制点（或特征点）定义一条曲线，曲线的形状仅取决于这些点本身之间的关系，而与这些点所在的坐标系无关。计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面2.参数方程将自变量与应变量分开，突出了参数变化对应变量的影响。3.容易实现各种线性变换运算（矩阵运算）。4.计算曲线的端点和端点导数简单，避免了斜率无穷大的问题。5.便于曲线的分段描述。6.易于处理多值问题。7.参数的变化约定为[0,1]，自然规定了所研究的曲线是有界的。计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面7.1.2基本术语一．点点是构造曲线和曲面的最基本的几何元素。在曲线和曲面中常用的点有：型值点控制点（特征点）插值点计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面①控制点控制点又称为特征点，用于限定曲线和曲面的位置与形状，相应曲线或曲面不一定经过的点。（如：1、2、3、4点）②型值点型值点用来确定曲线和曲面的位置与形状，相应曲线或曲面一定经过的点。（如：a、b、c、d点）控制点型值点计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面③插值点设函数在闭区间上有互异的个型值点，基于这个列表数据，寻求某个函数去逼近，使，则称为的插值函数，为插值点。可以看出，插值函数在个插值点处与相等，而在别处就用近似地代替。此过程就叫函数插值。（给定的插值点越多，曲线拟合得越好）ba,),,3,2,1()(nixfi)(x)(xf)(xf)(xix)(xf)()(iixfx)(xixnn)(xf)(x)(xf1x2x3x4x5x)(x)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(5xf计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面二．插值（见上面）三．拟合给定一组型值点，求完全通过给定的型值点序列的曲线或曲面，称为曲线曲面的拟合计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面四．逼近在曲线和曲面造型中，当型值点太多时，构造插值函数使其通过所有型值点是很困难的。因此，人们采用了一种逼近的方法。所谓逼近是指寻找一个函数，使其最佳逼近各个型值点。逼近不要求严格通过各型值点，但要求是对所有型值点的最佳逼近。逼近的方法很多，最常用的是最小二乘法。计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面五．光顺光顺是指构造的曲线光滑和顺畅，没有尖点。光顺的条件为：曲线曲面在连接点具有①一阶导数连续，即切线矢量连续②二阶导数连续，即曲率连续。尖点计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面7.2自由曲线概述在曲面造型系统中，曲线构造是曲面构造的基础，它构成了曲面的基本单元——曲面片的边界。工程上把形状比较复杂、不能用二次方程描述的曲线和曲面称为自由曲线和自由曲面。曲面造型中最常用的一些参数曲线有：埃尔米特曲线（Hermite）贝塞尔曲线（Bezier）B样条曲线计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面7.2.1埃尔米特曲线（Hermite）概述大多数CAD系统用三次参数曲线描述自由曲线，这是因为三次参数曲线已足以保证相连曲线的一阶、二阶导数连续。另外，由于高于三次的参数曲线的计算费时，且曲线上任何一点几何信息的变化都可能导致曲线形状发生复杂的变化，因此，工程上一般采用不高于三次的参数曲线。计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面一．空间三次参数曲线方程1.空间三次参数曲线的矢量表示其中矢量的向量矩阵表示为)()()()(tztytxtP332210)(tatataatP10t3210)(aaaatP、、、、zyxaaaa3333zyxaaaa0000zyxaaaa1111zyxaaaa2222称为曲线的系数矢量3210aaaa、、、)(tP称为曲线上任意一点的坐标矢量称为曲线的系数矢量3210aaaa、、、zyxaaaa0000zyxaaaa1111计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面2.空间三次参数曲线的矩阵表示3.空间三次参数曲线的代数表示（即：任意一点的坐标值）说明：确定了上述方程组中12个系数也就唯一地确定了一条3次参数曲线的位置与形状。33332222111000)()()(taaataaataaaaaatztytxzyxzyxzyxzyx10)()()(332210332210332210ttatataatztatataatytatataatxzzzzyyyyxxxx计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面二．三次埃尔米特曲线方程的确定1.已知条件•已知曲线的两个端点（和）的位置矢量，以及两端点的切线矢量。10PP、'1'0PP、0t1tzyxzyxzyxzyxPPPPPPPPPPtPPPPPPPPPPt1111''1'1'1'1'0'0'0'0'0000)1()1(1)0()0(0时当时当计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面2.推导过程（）当时：当时：则有：0t1''000)0()0(aPPaPP1t321''13210132)1()1(aaaPPaaaaPP332210)(tatataatP'1'0103'1'0102'010022233PPPPaPPPPaPaPa计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面带入令则（矩阵表示为）332210)(tatataatP3'1'0102'1'010'00)22()233()(tPPPPtPPPPtPPtP'132'032132032)()2()23()231()(PttPtttPttPtttP调和函数（基函数）324323322321)(2)(23)(231)(tttFttttFtttFtttFhhhh'1'0104321PPPP)()()()()(tFtFtFtFtPhhhh10t计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面3.小结（三次埃尔米特曲线参数方程的表示）①矢量表示②矩阵表示'1'01032323232223231)(PPPPttttttttttP3'1'0102'1'010'00)22()233()(tPPPPtPPPPtPPtP'1'0102300010100123311221)(PPPPttttP10t'132'032132032)()2()23()231()(PttPtttPttPtttP计算机辅助设计基础及应用第七章自由曲线和自由曲面③代数表示（坐标值表示）'1'0102300010100123311221)(xxxxPPPPttttx'1'0102300010100123311221)(yyyyPPPPtttty'1'0102300010100123311221)(zzzzPPPPttttz10t根据上述方程